14 - O capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição P 0 = 1,1 , 1 , e a temperatura da blindagem de sua espaçonave num ponto x , y , z é dada por T x , y , z = e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 graus.

b) Se a espaço nave viaja a e e 8 unidades de comprimento por segundo, com que taxa a temperatura irá cair quando ele seguir a direção do item (a)?

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

No item a), vimos o drama que o Capitão Astro está passando. Correndo risco de vida encontramos a direção em que ele deve guiar sua nave para fugir o mais rápido possível do calor.

Agora, a nave está seguindo o vetor 1,2 , 3 e supondo que a nave esteja viajando a uma velocidade de e 8 unidades de comprimento por segundo.

Com essas informações, queremos descobrir a taxa de decaimento da temperatura da nave.

Parece muito complexo, não é?

Mas olha só, lembra que a derivada direcional de uma função nos mostra a taxa de variação dela em uma determinada direção?

Então, vamos aplicar essa ideia.

Veja só!

Passo 2

a derivada direcional de T na direção u é dada por

D u T = ∇ T · u u

Já calculamos o gradiente no item a) e temos u

D u T = - 2 x e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 , - 4 y e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 , - 6 z e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 · 1,2 , 3 1 2 + 2 2 + 3 2

Eles acabaram de mudar de direção, então ainda estão no mesmo ponto. Para descobrir a variação, temos que aplicar as coordenadas do ponto P 0 . Também fizemos esse cálculo no item anterior, então vamos substituir.

D u T P 0 = - 2 e - 6 , - 4 e - 6 , - 6 e - 6 · 1,2 , 3 14

D u T P 0 = - 2 e - 6 - 8 e - 6 - 18 e - 6 14

Simplificando um pouco mais a equação, temos

D u T P 0 = - 2 e - 6 1 + 4 + 9 14

D u T P 0 = - 2 e - 6 14 14

Um número dividido pela sua raiz, é igual a sua raiz, ou seja

D u T P 0 = - 2 e - 6 14

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Encontramos que a variação de V por unidade na direção de u é igual a - 2 e - 6 14 .

Mas espera aí, não estamos esquecendo nada?

Nosso foguete está equipado com motores supersônicos, isso faz com que ele viaja a uma velocidade de e 8 unidades de comprimento por segundo.

Se a taxa de variação segundo na direção u é de - 2 e - 6 14 , se estamos a e 8 de velocidade, essa taxa vai aumentar e 8 vezes, concorda?

Então a taxa em que a temperatura diminui na nave é de

T a x a   d e   V a r i a ç ã o = - 2 e - 6 14 · e 8

Pela propriedade de potências, podemos fazer o seguinte

T a x a   d e   V a r i a ç ã o = - 2 e - 6 + 8 14

T a x a   d e   V a r i a ç ã o = - 2 e 2 14

Com isso, vemos que a taxa de variação de temperatura muda muito rápido, o que é bom para o nosso querido Capitão.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

T a x a   d e   V a r i a ç ã o = - 2 e 2 14

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas