6 - Suponha que a função de duas variáveis f , diferenciável no ponto 1,2 , satisfaz D u → f 1,2 = - 5 e D v → f 1,2 = 10 , onde u → = 3 5 , 4 5   e v → = 4 5 , - 3 5 . Determine:

a) f x 1,2 ;

b) f y 1,2 ;

c) A derivada direcional de f em 1,2 ao longo do vetor dado pelo segmento de reta orientado com ponto inicial 1,2 e ponto final dado pela origem.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Pode parecer que está faltando informações no enunciado, mas não se preocupe, está tudo certo com o enunciado!

Para essa questão vamos usar nossos poderes de resolução de derivada direcional para encontrar a derivada parcial de f , com relação a x no ponto P , f x 1,2 e também a derivada parcial de f , com relação a y no ponto P , f y 1,2 .

O que você vai dizer quando alguém perguntar o que é uma derivada direcional?

Certamente, você vai dizer “a derivada direcional representa a taxa de variação instantânea de uma função em um determinado ponto e em uma determinada direção” correto?

A gente tem uma formulinha para calcular a derivada direcional de f , dada por

D v f P = ∂ f P ∂ x , ∂ f P ∂ y · v 1 , v 2 v

A derivada direcional de f é resultado do produto interno do vetor formado pelas derivadas parciais de f no ponto P com o vetor direcional na sua forma unitária.

Está entendendo? Bora resolver.

Passo 2

Temos dois vetores e duas derivadas direcionais: D u → f 1,2 = - 5 para o vetor u → = 3 5 , 4 5 e D v → f 1,2 = 10 para o vetor v → = 4 5 , - 3 5 . Ambos no ponto P = 1,2 .

Vamos montar a equação da derivada direcional para o vetor u → .

D u → f P = ∂ f P ∂ x , ∂ f P ∂ y · u →

- 5 = f x 1,2 , f y 1,2 · 3 5 , 4 5

∂ f P ∂ x e ∂ f P ∂ y podem ser escritos como f x 1,2 e f y 1,2 , respectivamente. u → já é um vetor unitário, então não precisamos mexer nele. Assim temos uma equação

3 5 f x 1,2 + 4 5 f y 1,2 = - 5

Agora fazemos o mesmo para o vetor v → .

D v → f P = ∂ f P ∂ x , ∂ f P ∂ y · v →

10 = f x 1,2 , f y 1,2 · 4 5 , - 3 5

Assim como u → , v → também é um vetor unitário, então não precisamos mudar nada nele.

4 5 f x 1,2 - 3 5 f y 1,2 = 10

Temos duas equações e duas incógnitas, podemos montar um sistema e descobrir os valores de f x 1,2 e f y 1,2 !

Passo 3

temos o seguinte sistema:

3 5 f x 1,2 + 4 5 f y 1,2 = - 5 4 5 f x 1,2 - 3 5 f y 1,2 = 10

Vamos multiplicar tudo por 5 para tirar o denominador das equações

3 f x 1,2 + 4 f y 1,2 = - 25 4 f x 1,2 - 3 f y 1,2 = 50

Podemos multiplicar a primeira equação por 4 / 3 e subtrair com a segunda equação para zerar o f x 1,2 da segunda equação.

3 f x 1,2 + 4 f y 1,2 = - 25 0 f x 1,2 + 25 3 f y 1,2 = - 250 3

Com isso, temos que

25 3 f y 1,2 = - 250 3

f y 1,2 = - 250 3 · 3 25

f y 1,2 = - 10

A derivada parcial de f com relação a y no ponto P é - 10 . Substituindo esse valor na primeira equação, vamos encontrar f x 1,2

3 f x 1,2 + 4 - 10 = - 25

3 f x 1,2 = 15

f x 1,2 = 5

A derivada parcial de f com relação a x no ponto P é 5 !

Passo 4

No item c), devemos calcular a derivada direcional de f , no ponto P e na direção do vetor que começa no ponto P e termina na origem.

Perceba que temos um tipo de quebra cabeça para descobrir o vetor.

Mas veja só, o ponto inicial do vetor é o ponto P e o ponto final do vetor é a origem do sistema, ou seja:

O vetor se desloca - 1 unidade no eixo x e - 2 unidades no eixo y , logo nosso vetor u é dado como u = - 1 , - 2

Substituindo essas informações na formulinha da derivada direcional, temos

D u f P = ∂ f P ∂ x , ∂ f P ∂ y · u u

Lembrando que devemos usar o vetor u em sua forma unitária, ou seja, dividindo ele mesmo pelo seu módulo.

D u f P = 5 , - 10 · ( - 1 , - 2 ) - 1 2 + - 2 2

D u f P = 5 , - 10 · - 1 5 , - 2 5

Fazendo o produto interno, temos

D u f P = - 5 5 + 20 5

D u f P = 15 5   o u   3 5

Encontramos a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor u como 3 5 !

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a) f x 1,2 = 5

b) f y 1,2 = - 10

c) u = - 1 , - 2 , D u f P = 15 5

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas