1. Sendo f x , y , z = x 2 - y 2 + z 2 , calcule a derivada direcional ∂ f ∂ u → no ponto 1,2 , 1 na direção do vetor u → = 4 i ^ - 2 j ^ + 4 k ^

Passo 1

Sabemos que a derivada direcional é dada por:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u  

O problema nos fornece:

u → = 4 , - 2,4

Então:

u u   = 4 , - 2,4 4 2 + - 2 2 + 4 2 = 4 6 ,   - 2 6 , 4 6

Passo 2

Falta calcular ∇ f 1 , 2,1 . Temos:

∇ f = 2 x , - 2 y , 2 z

Então:

∇ f 1,2 , 1 = 2 , - 4,2

Passo 3

Substituindo na fórmula:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u  

∂ f ∂ u 1,2 , 1 = 2 , - 4,2 ⋅ 4 6 ,   - 2 6 , 4 6 = 4 3 + 4 3 + 4 3

∂ f ∂ u 1,2 , 1 = 4

Resposta

∂ f ∂ u → 1,2 , 1 = 4

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas