Prove pela definição que

x 3 + y   = 0

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

A questão nos pede para calcularmos um limite de duas variáveis pela definição. Muitas pessoas temem o tal do limite pela definição, mas afinal, o que ele é?

Imagina que:

Imagina que temos um intervalo ϵ , de forma que para cada ϵ temos um δ associado a ele. Basicamente, para cada x há um y , isto é provar que o limite existe naquele ponto. De maneira mais matemática de falar:

S e   0 < x - x 0 2 + y - y 0 2 < δ ,   e n t ã o   h á     f x , y - L < ϵ

Sendo L o limite no ponto, e ( x 0 , y 0 ) o valor das coordenadas no ponto.

Basicamente é isso, e alguns traquejos matemáticos. Bora lá?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim, seja:

0 < x - x 0 2 + y - y 0 2 < δ

Substituindo x 0 e y 0 :

x 3 - 1 2 + y - - 1 2 = x 3 - 1 2 + y + 1 2 < δ

Agora aqui um traquejo, se a soma de termos quadráticos é menor que um valor, então concorda comigo que um termo isolado é com certeza menor ou igual que esse valor, assim:

x 3 - 1 2 + y + 1 2 < δ ⇒ x 3 - 1 2 < δ

Mas x 3 - 1 2 = x 3 - 1 , logo:

x 3 - 1 2 = x 3 - 1 ≤ δ

E do mesmo modo:

y + 1 2 = y + 1 ≤ δ

e por que isso fizemos essas relações? Vamos ver mais pra frente que elas vão nos ajudar muito.

Agora vamos ver como é a relação para ϵ ?

Passo 3

Temos então:

f x , y - L < ϵ

Substituindo:

x 3 + y - 0 < ϵ

Mas saca só, podemos adicionar e subtrair ± 1 , certo? Veja:

x 3 - 1 + y - 1 - 0 < ϵ  

Veja que no final isso altera em nada. Podemos separar os módulos, sabendo que:

x 3 - 1 + y - 1 - 0 ≤ x 3 - 1 + y + 1

Assim:

x 3 - 1 + y + 1 ≤ ϵ

Mas sabemos o que é x 3 - 1 e y + 1 , lembra? Assim:

x 3 - 1 + y + 1 = δ + δ ≤ ϵ

E logo:

2 δ = ϵ → δ = ϵ 2

Essa relação era a que procurávamos, porque aqui provamos que:

x 3 + y - 0 = x 3 + y < ϵ

Continuando:

x 3 + y = 2 δ = 2 * ϵ 2 = ϵ

E provamos ao final que:

ϵ = ϵ

E enfim, chegamos.

E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!

Resposta

Provado nos passos acima

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas