(Capítulo 14.6 – Exercício 4) Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicado pelo ângulo θ .

f x , y = x 3 y 4 - x 4 y 3 ,                     1 ,   1 ,               θ = π / 6

Passo 1

E aíí gente, suave? Nesse exercício vamos relembrar os conceitos de derivadas direcionais

Basicamente, a gente tem uma função f ( x , y ) e aí queremos saber qual a derivada direcional dela em determinado ponto e direção dada

E aí só pra lembrar: a derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) em uma direção u → qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Neste caso,

u → = ( cos ⁡ θ ,   s e n   θ )

(as coordenadas x e y do vetor, de acordo com o ângulo que ele forma)

Fechou? Então vamos lá!

Passo 2

Como θ = π / 6 , então

u → = ( cos ⁡ θ ,   s e n   θ )

u → = 3 2 , 1 2

Encontrando o gradiente de f :

∇ f x ,   y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

∇ f x ,   y = ( 3 x 2 y 4 - 4 x 3 y 3 ,   4 x 3 y 3 - 3 x 4 y 2 )

Então, podemos encontrar o gradiente no ponto a ,   b = ( 1 ,   1 ) :

∇ f 1 ,   1 = ( - 1 ,   1 )

Uhuuu, agora é só substituirmos as informações que temos na expressão

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Passo 3

Temos

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

D u f 1 ,   1 = - 1 ,   1 ⋅ 3 2 , 1 2

Portanto,

D u f 1 ,   1 = - 3 2 + 1 2

D u f 1 ,   1 = 1 - 3 2

E fimmm!!

Resposta

D u f 1 ,   1 = 1 - 3 2

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