Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

6. Considere u → = a , b um vetor unitário e calcule ∂ f ∂ u → 0,0 .  

f x , y = x y x 2 + y 2 , x , y ≠ 0,0 0 , x , y = 0,0

Passo 1

Vamos começar calculando como ele pede, a derivada direcional pela definição

∂ f ∂ u P 0 = lim t → 0 ⁡ f P 0 + t u - f P 0 t u

Temos

u = a , b

u = a 2 + b 2 = 1

O limite vai ficar

∂ f ∂ u → 0,0 = lim t → 0 ⁡ f 0,0 + t a , b - f 0,0 t . 1 = lim t → 0 ⁡ f t a , t b - 0 t

Lembrando que t → 0 , ou seja ele não é zero, então

f t a , t b = t 2 a b t 2 a 2 + t 2 b 2 = a b a 2 + b 2

Voltando para o limite

lim t → 0 ⁡ f t a , t b - 0 t = lim t → 0 ⁡ a b a 2 + b 2 t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos analisar esse limite:

lim t → 0 ⁡ a b a 2 + b 2 t

  • Se a b a 2 + b 2 for igual a zero, esse limite vai existir e será igual a zero. Pois teremos o caso:
  • lim t → 0 ⁡ 0 t = 0

    Ou seja, a b = 0 .Duas possibilidades:

    a = 0 ,   b 2 = 1

    Ou

    a 2 = 1 ,   b = 0

    Pois a , b são coordenadas de um vetor unitário.

    Então temos:

    0,1 ; 0 , - 1 ; 1,0 ; - 1 ; 0

  • a b a 2 + b 2 ≠ 0 , teremos uma constante divido por um termo próximo de zero, ou seja, o limite não vai existir. Estaríamos no caso:

lim t → 0 ⁡ C t = ± ∞ ,   C ≠ 0

Portanto, para todos os outros valores de a , b a derivada parcial não existe.

Resposta

∂ f ∂ u → 0,0 = 0 , u → = ± 1,0   o u   u → = 0 , ± 1 ∄ , c a s o   c o n t r á r i o

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