Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável no ponto ( 0,0 ) . Sabe-se que as derivadas direcionais de f ( x , y ) no ponto ( 0,0 ) segundo as direções dos vetores ( 1,1 ) e ( - 1,1 ) são, respectivamente, 1 e - 2 . Quanto valem ∂ f ∂ x ( 0,0 ) e ∂ f ∂ y ( 0,0 ) , respectivamente?

  1. 2 e -2
  2. 1 e -3
  3. 3 2 2 e - 2 2
  4. 3 2 e - 1 2
  5. 2 2 e - 2

Passo 1

Sabemos que

∂ f ∂ u 0,0 = ∇ f 0,0 ⋅ 1,1 1 2 + 1 2 = 1

∂ f ∂ v 0,0 = ∇ f 0,0 ⋅ - 1,1 - 1 2 + 1 2 = - 2

Analisando a primeira derivada direcional, podemos tirar que

f x 0,0 . 1 2 + f y 0,0 . 1 2 = 1

Do mesmo modo, da segunda derivada direcional, temos

- f x 0,0 . 1 2 + f y 0,0 . 1 2 = - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Opa, show de bola!

Temos um sistema com duas equações e duas incógnitas, que são exatamente as derivadas parciais que estamos procurando.

Repetindo aqui o sistema:

  f x 0,0 . 1 2 + f y 0,0 . 1 2 = 1 - f x 0,0 . 1 2 + + f y 0,0 . 1 2 = - 2

Pra resolver isso, a gente pode somar as duas equações. Ficamos com:

f y 0,0 . 2 2 = - 1

Assim,

f y 0,0 = - 2 2

E pra achar o f x ( 0,0 ) é só substituir esse resultado em uma das duas equações. Vamos substituir na primeira:

f x 0,0 . 1 2 + - 2 2 . 1 2 = 1

Assim

f x 0,0 . 1 2 = 1 + 1 2 = 3 2

Então

f x 0,0 = 3 2 2

Resposta

L e t r a   c

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