Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Considere a função e o ponto ( 0,2 )

f x , y = y e - x y

Determine:

  1. O gradiente de f em tal ponto.
  2. As direções em que a derivada direcional de f em tal ponto é igual a 1 .

Passo 1

a )

Para calcular o vetor gradiente basta a gente calcular as derivadas parciais da função.

Começando pela derivada parcial em relação a x . Usando a regra da cadeia:

f x = y e - x y ∙ - y = - y 2 e - x y

Agora para a derivada parcial em relação a y vamos precisar da regra do produto e regra da cadeia:

f y = e - x y + y e - x y - x = e - x y ( 1 - x y )

Então, o vetor gradiente é:

∇ f = f x , f y = - y 2 e - x y , e - x y 1 - x y

No ponto ( 0,2 ) :

∇ f ( 0,2 ) = - 2 2 e 0 , e 0 1 - 2.0

∇ f ( 0,2 ) = - 4 , 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Agora queremos encontrar as direções em que a derivada direcional da função vale 1 .

Sabemos que a derivada direcional é calculada pelo produto escalar

∂ f ∂ u 0,2 = ∇ f 0,2 ⋅ u u  

Se fizermos o vetor u unitário como

u = ( a , b )

∂ f ∂ u 0,2 = - 4,1 ⋅ a , b = 1

- 4 a + b = 1

Portanto, as direções na qual a derivada direcional da função vale 1 atendem a essa relação.

A gente pode chutar algumas coisas, na base da tentativa e erro.

Passo 3

Vamos lá. Temos que atender

- 4 a + b = 1

Se a gente fizer

a = 0

b = 1

Nosso sistema é atendido e o vetor

u = a , b = ( 0,1 )

É um vetor unitário! Então, já temos uma resposta.

Agora vamos pensar em outra.

a = - 8 17

b = - 15 17

Nosso sistema é atendido e o vetor

u = a , b = - 8 17 , - 15 17

É também é um vetor unitário! Então, já temos outra resposta.

Resposta

a )

∇ f ( 0,2 ) = - 4,1

b )

u = a , b = ( 0,1 )

u = a , b = - 8 17 , - 15 17

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