Dado D   ⊂ R n aberto, seja f   : D → R diferenciavel em x 0 → ∈ D . Mostre que a direção ao longo da qual a derivada direcional de f em x 0 → é máxima é ao longo de ∇ f x 0 →

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Bom, aqui faremos uso de um teorema que ao meu ver é muito poderoso: que ∇ f ( x ) é chamado de gradiente na função f x , e ele aponta para onde a função está crescendo, assim o seu máximo. Além disso, à titulo de interesse, o gradiente, ao apontar para onde a função está crescendo, é também tangente à curva de nível.

Mas a melhor forma de demonstrar algo é por um exemplo, né?! Faremos então

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

A derivada direcional de f na direção x é:

∇ x f x 0 → = lim h → 0 ⁡ f x 0 → + h   a → - f x 0 → h

Também:

∇ x f = ∇ f ∙ x = ∇ f x 0 → cos ⁡ θ = ∇ f cos ⁡ θ

O valor máximo, que é o que queremos, é máximo quando cos ⁡ θ = 1 → θ = 0 .

Concluimso que o valor máximo da derivada direcional de uma função diferencialvel é ∇ f e ocorre quando a o vetor, no nosso exemplo x 0 → tem mesma direção e sentido que ∇ f . Logo ela é máxima em ∇ f x 0 →

Resposta

Demonstração no passo 2.

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas