Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

5. Considere u → = a , b um vetor unitário e calcule ∂ f ∂ u → 0,0 .  

f x , y = x 3 x 2 + y 2 , x , y ≠ 0,0 0 , x , y = 0,0

Passo 1

Vamos começar calculando como ele pede, a derivada direcional pela definição

∂ f ∂ u P 0 = lim t → 0 ⁡ f P 0 + t u - f P 0 t u

Temos

u = a , b

u = a 2 + b 2 = 1

O limite vai ficar

∂ f ∂ u → 0,0 = lim t → 0 ⁡ f 0,0 + t a , b - f 0,0 t . 1 = lim t → 0 ⁡ f t a , t b - 0 t

Lembrando que t → 0 , ou seja ele não é zero, então

f t a , t b = t 3 a 3 t 2 a 2 + t 2 b 2 = t a 3 a 2 + b 2

Voltando para o limite

lim t → 0 ⁡ f t a , t b - 0 t = lim t → 0 ⁡ t a a 2 + b 2 t = lim t → 0 ⁡ a 3 a 2 + b 2 =   lim t → 0 ⁡ a 3 1 = a 3

Portanto : ∂ f ∂ u → 0,0 = a 3

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Resposta

∂ f ∂ u → 0,0 = a 3

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