Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

A temperatura de uma chapa plana é dada por T x , y = x 2 + y 2 , com x e y em c m e T em ℃ . Calcule de quanto ela varia aproximadamente, se caminharmos 1 c m a partir do ponto 3,4 na direção do vetor que faz um ângulo θ   com o semi-eixo x positivo, se:

  1. θ = 30 °
  2. θ = 210 °

Passo 1

A taxa de variação de uma função na direção de um vetor é a sua derivada direcional na direção desse vetor!

Então, a questão se resume a calcular a derivada direcional da função T no ponto 3,4 , na direção do vetor de norma 1 c m que faz ângulos 30 ° e 210 ° com o eixo x .

Para isso, só usar a fórmula da derivada direcional:

D u → T 3,4 = ∇ T x , y . u → u →

Em que u → é o tal vetor de norma 1 c m (por que o enunciado diz que andamos 1 c m em cada direção).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  1. Para o vetor que faz angulo 30 ° , teremos:
  2. u → = 1 c m . cos ⁡ 30 , 1 c m . sin ⁡ 30

    Ou seja, apenas decompomos seu módulo nas coordenadas x em y (tipo em coordenadas polares, saca?).

    Como seu módulo já é 1 c m , então nem precisamos colocar mais esse u → na equação.

    Passo 3

    Ok, agora só falta encontrar o vetor gradiente. Para isso, pegamos a função e montamos um vetor com suas derivadas parciais:

    T x , y = x 2 + y 2

    T x x , y = 2 x

    T y x , y = 2 y

    ∇ T x , y = 2 x , 2 y

    Show! Agora só tacar tudo na equação da derivada parcial ;)

    Passo 4

    D u → T 3,4 = 2 x , 2 y . cos ⁡ 30 , sin ⁡ 30

    Ajustando no lado direito o ponto, colocando x = 3 e y = 4 ,

    D u → T 3,4 = 2.3,2.4 . cos ⁡ 30 , sin ⁡ 30

    Fazendo o produto escalar:

    D u → T 3,4 = 6   . 3 2 + 8   . 1 2 = 4 + 3 3

    E aí está! Resposta encontrada, taxa de variação de 4 + 3 3 ℃

    Passo 5

  3. Vamos repetir a mesma, mesmíssima coisa para a letra b . Recomendo clicar em “esconde aí” e tentar fazer essa sozinho ;) Pode ser trivial, mas faz pra ver se pegou a ideia. Vou até começar a resolução no próximo passo pra você ficar menos tentado(a) :D

Passo 3

Vamos matar logo isso. Pega a equação da derivada:

D u → T 3,4 = ∇ T x , y . u → u →

Como a função é a mesma, esse vetor gradiente não muda! Continua 2 x , 2 y ... Agora temos outro vetor u → , de mesma norma, 1 c m , mas com θ = 210 ° . Então, só colocar esse novo ângulo na equação também. Assim como na letra a , nao precisamos dividir pela norma, por que ela já é 1 !

D u → T 3,4 = 2 x , 2 y . cos ⁡ 210 , sin ⁡ 210

Como o ponto continua sendo 3,4 ,

D u → T 3,4 = 6,8 . cos ⁡ 210 , sin ⁡ 210

Passo 4

Fazendo o produto escalar, já colocando os valores dos cosseno e seno, lembrando que 210 ° tem simetria com 30 ° ,

D u → T 3,4 = - 6 . 3 2 - 4

E pronto, o outro valor da derivada direcional está aí :D

Resposta

  1. 4 + 3 3 ℃
  2. - 4 - 6 . 3 2 ℃

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas