Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Funções de Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Derivadas Direcionais

Considere o vetor unitário u = 3 2 , 1 2 e a função:

f x , y = x y 2 x 2 + y 4 , s e   x , y ≠ 0,0   0 , s e   x , y = 0,0

  1. A função f é contínua em 0,0 ? Justifique!
  2. Determine as derivadas parciais δ f δ x 0,0 e δ f δ y 0,0 .
  3. Determine a derivada direcional D u f 0,0 .
  4. Explique porque o produto escalar ∇ f 0 , 0 . u não fornece a derivada de f em 0,0 na direção de u .

Passo 1

a)

Para a função ser contínua, em qualquer ponto que seja, o limite dela quando ela tende a esse ponto deve ser igual ao valor dela para o tal ponto. Então, como sabemos que na origem o valor da função é 0 , temos que verificar se o limite quando ela tende a 0 é de fato 0 !

Sem mais papo, vamos resolver isso aqui:

l i m x , y → 0,0 x y 2 x 2 + y 4  

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Passo 2

Mano, então, para provar que o limite existe e é igual a um número, temos que usar o Teorema do Sanduíche, normalmente –e particularmente, eu odeio isso. Então, antes de mais nada, vamos tentar provar que ele não existe, o que é muito mais fácil, beleza? Provar que não existe um limite nada mais é do que encontrar dois valores diferentes para o limite da função (uma função que tem dois limites não possui limite!).

Então, vamos verificar qual seria o limite se percorrermos a função pela curva y = 0 (ou seja, pelo próprio eixo x ):

l i m x , y → 0,0 x . 0 2 x 2 + 0 4 = 0 x 2 = 0

Beleza, encontramos 0 como limite. Vamos continuar tentar para outras curvas, pelo menos pra mais duas até partir para o teorema do sanduiche!

Passo 3

Aqui vem uma dica importante: Viu que no numerado temos um produto e no denominador uma soma? Então vamos fazer com que o produto em cima tenha o mesmo grau da soma embaixo. Como o mmc entre 1 , 2 e 4 (graus das variáveis) é 4, se tentarmos pela curva x = y 2 , teremos:

l i m x , y → 0,0 y 2 . y 2 x 2 2 + y 4 = y 4 2 y 4 = 1 2

Nossa! Que alívio, conseguimos um outro limite! Viu como é ótimo tentar pelo menos umas duas ou três curvas antes de perder tempo de prova tentando provar um limite que não existe?

Conclusão: Função não é contínua na origem porque o limite quando ela tende a 0,0 não existe!

Passo 4

b)

Aqui vamos ter que usar a definição de derivada parcial, por que né, não dá pra simplesmente derivar 0 ! Então vamos lá, para a derivada em relação a x ,

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

Colocando x 0 , y 0 = 0,0 , teremos:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ 0 x 2 - 0 x - 0 = 0 x 3 = 0

E aí está! Nossa derivada em relação a x é 0 !

Passo 5

Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a y . Pela definição,

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ 0 y 4 - 0 y - 0 = 0 y 5 = 0

Novamente, nossa derivada deu 0 . Derivada parcial em relação a y é 0 !

Passo 6

c)

Como a função não é diferenciável, pois não é contínua, e não podemos usar a definição pelo produto escalar. Vamos fazer pela definição de derivada direcional.

D u → f P 0 = lim t → 0 ⁡ f P 0 + t u - f P 0 t u

Pegando um vetor qualquer vamos ter

u = 3 2 , 1 2

E

u = 1

Esse limite vai ficar

D u → f 0,0 = lim t → 0 ⁡ f 0,0 + t 3 2 , 1 2 - f 0,0 t . 1

D u → f 0,0 = lim t → 0 ⁡ f t 3 2 , t 2 t

Esse cara dentro da função não é zero então

f t 3 2 , t 2 = t 3 2 t 2 2 t 3 2 2 + t 2 4 = t 3 3 8 3 t 2 4 + t 4 16 = 2 t 3 12 + t 2

A derivada direcional vai ficar

D u → f 0,0 = lim t → 0 ⁡ 2 t 3 12 + t 2 t = lim t → 0 ⁡ 2 3 12 + t 2 = 2 3 12 = 3 6

Passo 7

d)

Como a função não é diferenciável, pois não é contínua, e não podemos usar a definição pelo produto escalar.

Resposta

  1. Função não é contínua na origem porque o limite quando ela tende a 0,0 não existe!
  2. δ f δ x = 0 , δ f δ y = 0
  3. 3 6
  4. Como a função não é diferenciável, pois não é contínua, e não podemos usar a definição pelo produto escalar.

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