Qual é a derivada direcional de f no ponto P e na direção v :

  1. f x , y = y   l n x   ,   P = 1 , - 3   ,   v = - 4,3
  2. f x , y , z = x + y z   ,   P = 1,3 , 1   ,   v = 2,3 , 6

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver essa questão juntos?

O enunciado perguntou a derivada direcional de f em um ponto P .

A derivada direcional nos diz que:

∂ f ∂ v = ∇ → f ⋅ v → v →

v deve estar normalizado!) e fazer o produto escalar dos dois vetores!

Vamos começar?

Passo 2

Letra a) a função, o ponto e o vetor são:

f x , y = y   l n x

P = 1 , - 3

v → = - 4,3

Vamos calcular o gradiente dessa função:

∇ → f = ∂ f ∂ x i ^ + ∂ f ∂ y j ^

∇ → f = ∂ ∂ x y   l n x i ^ + ∂ ∂ y y   l n x j ^

∇ → f = y x i ^ + l n x   j ^

E aplicado no ponto P ( 1 , - 3 ) temos:

∇ → f 1 , - 3 = - 3 1 i ^ + l n 1   j ^ = - 3 i ^

∇ → f 1 , - 3 = - 3,0

Agora a normalização do vetor v → :

v → = - 4 2 + 3 2 = 25 = 5

E aí o vetor v → normalizado:

v → v → = - 4 5 , 3 5    

E por fim a derivada direcional:

∂ f ∂ v = ∇ → f ⋅ v → v →

∂ f ∂ v = - 3,0 ⋅ - 4 5 , 3 5 = - 3 . - 4 5 + 0 . 3 5 = 12 5

f na direção de v → em P é 12 5 .

Sacou?

Agora é só aplicar os mesmos passos pra letra (b)! Mas agora em três dimensões! =)

Passo 3

Letra b) a função, o ponto e o vetor são:

f x , y , z = x + y z

P = 1,3 , 1

v → = 2,3 , 6

Vamos calcular o gradiente dessa função:

∇ → f = ∂ ∂ x x + y z i ^ + ∂ ∂ y x + y z j ^ + ∂ ∂ z x + y z k ^

∇ → f = 1 2 x + y z i ^ + z 2 x + y z   j ^ + y 2 x + y z k ^

E aplicado no ponto P ( 1,3 , 1 ) temos:

∇ → f 1,3 , 1 = 1 2 1 + 3 i ^ + 1 2 1 + 3   j ^ + 3 2 1 + 3 k ^

∇ → f 1,3 , 1 = 1 4 ; 1 4 ; 3 4

Agora a normalização do vetor v → :

v → = 2 2 + 3 2 + 6 2 = 36 + 9 + 4 = 49 = 7

E aí o vetor v → normalizado:

v → v → = 2 7 ; 3 7 ; 6 7      

E por fim a derivada direcional:

∂ f ∂ v = ∇ → f ⋅ v → v →

∂ f ∂ v = 1 4 ; 1 4 ; 3 4 ⋅ 2 7 ; 3 7 ; 6 7       = 2 28 + 3 28 + 18 28 = 23 28

Pronto! A derivada direcional da função f na direção de v → em P é 23 28

Resposta

23 28

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas