Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Funções de Várias Variáveis, Limites e Continuidade

Considere a função:

f x , y = x + y , s e   x y = 0 k , c a s o   c o n t r á r i o

Em que k é um número real.

  1. Determine as derivadas parciais de primeira ordem de f em 0,0 .
  2. É possível escolher k de modo que f seja contínua em 0,0 ? No caso afirmativo, qual deve ser o valor de k ?
  3. Mostre que f , com k = 1 , não possui derivada direcional em 0,0 na direção de um vetor v = a , b , com a 2 + b 2 = 1 e a b ≠ 0 .
  4. f é diferenciável em ( 0,0 ) quando k = 1 ? Justifique!

Passo 1

a)

Beleza, quanto ele pedir a derivada em um ponto e temos uma função definida em pedaços vamos calcular a derivada pela definição, começando com a derivada em relação a x

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

Repara que f x , 0 vai ter x y = 0 e f 0,0 também, então esse limite vai ficar

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x + 0 - 0 + 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ 1 = 1

Então

f x 0,0 = 1

Vamos para a derivada em relação a y

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

Repara que f 0 , y vai ter x y = 0 e f 0,0 também, então esse limite vai ficar

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 + y - 0 + 0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ y y = lim y → 0 ⁡ 1 = 1

Então

f y 0,0 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Lembra como fazemos pra definir se uma função é contínua em um ponto? Precisamos saber o valor dela nesse ponto, e então fazer o limite dela quando x e y tendem ao ponto em questão. Se ela for contínua, esses valores devem ser iguais! Tá, então vamos ter o seguinte:

Caso o produto x y seja 0 , sabemos que o valor da função é x + y . Então temos, se x = 0 ou y = 0 ,

f x , y = x + y

Agora sabemos que a função nesse ponto vale 0 , pois na origem x e y valem 0 , logo, 0 + 0 = 0 . Então só falta ver o limite quando a função tende à origem por valores de x e y diferentes de 0 .

Passo 3

Caso o produto x y seja diferente de 0 , nossa função “pula” pra um valor k . Como queremos k tal que ela seja contínua na origem, o valor de k deve ser o mesmo do limite quando x y = 0 , ou seja,

l i m x , y → 0,0 f x , y = l i m x , y → 0,0 k = k

Como a função em 0,0 assume valor 0 , k deve ser igual a 0 . Ou seja, na real, para ela ser contínua, ela não pode pular simplesmente para um valor k !

Letra b fechada!

Passo 4

c)

Aqui entra um detalhe importante, essa função não é contínua fora do k = 0 , então com k = 1 vamos ter uma função que não é contínua, o que faz ela não ser diferenciável.

Assim temos que fazer a derivada direcional pela definição.

D u → f P 0 = lim t → 0 ⁡ f P 0 + t u - f P 0 t u

Esse limite vai ficar

D u → f 0,0 = lim t → 0 ⁡ f 0,0 + t a , b - f 0,0 t . 1

Lembra que ele disse que

a 2 + b 2 = 1

Então

u = 1

Voltando ao limite

D u → f 0,0 = lim t → 0 ⁡ f t a , t b - 0 + 0 t

D u → f 0,0 = lim t → 0 ⁡ f t a , t b t

Repara que ele disse que o produto de a e b é diferente de 0 então o produto t a . t b com t indo para 0 também não é zero, então

f t a , t b = k

D u → f 0,0 = lim t → 0 ⁡ k t = ∞

Isso nos diz que a derivada direcional nesse ponto não existe.

Passo 5

d)

A função não é diferenciável, porque ela não é contínua se k = 1 .

Resposta

  1. f x 0,0 = 1 e f y 0,0 = 1 .
  2. k = 0 .
  3. Não possui derivadas direcionais por que não possui derivadas parciais.
  4. Não é diferenciável por que não é contínua.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas