Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Uma função de classe C 1 f tem, no ponto 1,1 , derivada direcional igual a 3 na direção do vetor 3 i ^ + 4 j ^ e igual a - 1 na direção do vetor 4 i ^ - 3 j ^ . Calcule:

  1. ∇ f 1,1
  2. ∂ f ∂ u → 1,1 , onde u → tem a direção do vetor i ^ + j ^

Passo 1

a )

Vamos começar usando a derivada direcional na direção de u → = 3 i ^ + 4 j ^ .

Para calcularmos a derivada direcional devemos primeiro achar o vetor gradiente da função f , para isso fazemos

∇ f = f x , f y

Agora trocamos os valores de x e y do ponto

∇ f 1,1 = f x 1,1 , f y 1,1

Como não temos a função vamos deixar assim mesmo

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar o módulo de u →

u → = u x 2 + u y 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5

A derivada direcional vai ser

∂ f ∂ u → 1,1 = f x 1,1 , f y 1,1 ∙ 3,4 5 = 3 5 f x 1,1 + 4 5 f y 1,1

Ele disse que essa derivada direciona vai ser 3 então

3 5 f x 1,1 + 4 5 f y 1,1 = 3

3 f x 1,1 + 4 f y 1,1 = 15

Mas isso não resolve nada né? Vamos fazer a derivada direcional na outra direção agora.

Passo 3

Agora vamos achar a derivada direcional na direção v → = 4 i ^ - 3 j ^

O vetor gradiente não muda quando mudamos a direção da derivada direcional certo? Então ele continua sendo

∇ f 1,1 = f x 1,1 , f y 1,1

Vamos agora achar o módulo do vetor v →

v → = v x 2 + v y 2 = 4 2 + - 3 2 = 16 + 9 = 25 = 5

A derivada direcional vai ser

∂ f ∂ u → 1,1 = f x 1,1 , f y 1,1 ∙ 4 , - 3 5 = 4 5 f x 1,1 - 3 5 f y 1,1

Ele disse que essa derivada direciona vai ser - 1 então

4 5 f x 1,1 - 3 5 f y 1,1 = - 1

4 f x 1,1 - 3 f y 1,1 = - 5

Vamos juntar as duas equações que achamos

Passo 4

Temos o seguinte sistema

3 f x 1,1 + 4 f y 1,1 = 15 4 f x 1,1 - 3 f y 1,1 = - 5

Para resolver esse sistema vamos multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda por 4 e somar as duas equações

9 f x 1,1 + 12 f y 1,1 = 45 16 f x 1,1 - 12 f y 1,1 = - 20

Somando vamos ter

25 f x 1,1 = 25

f x 1,1 = 1

Usando a primeira equação vamos ter

3.1 + 4 f y 1,1 = 15

4 f y 1,1 = 15 - 3 = 12

f y 1,1 = 3

Então o vetor gradiente vai ser

∇ f 1,1 = 1,3

Passo 5

b )

Vamos agora calcular a derivada direcional na direção u → = i ^ + j ^

Já temos o vetor gradiente no ponto

∇ f 1,1 = 1,3

Precisamos achar o módulo de u →

u → = u x 2 + u y 2 = 1 2 + 1 2 = 1 + 1 = 2

A derivada direcional vai ser

∂ f ∂ u → 1,1 = 1,3 ∙ 1,1 2 = 1 2 + 3 2 = 4 2 = 4 2 2 = 2 2

Resposta

  1. ∇ f 1,1 = 1,3
  2. ∂ f ∂ u → 1,1 = 2 2

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