Determine a derivada direcional da função no ponto P , na direção do ponto Q .

c)

f x , y , z = x y - x y 2 z 2 ,   P 2 , - 1,1 ,   Q 5,1 , 7

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos a derivada direcional de f x , y num ponto   P 2 , - 1,1 em direção ao ponto Q 5,1 , 7 .

Por definição, temos que a derivada direcional de f num ponto x , y , z na direção u → unitário qualquer é dada por:

D u f x , y , z = ∇ f x , y , z ∙ u →

No nosso caso, precisamos encontrar nosso vetor u → :

u → = Q - P ∴

u → = 5 - 2,1 - - 1 , 7 - 1 ∴

u → = 3,2 , 6

Normalizando nosso vetor, temos:

u → = 3,2 , 6 3 2 + 2 2 + 6 2 = 3,2 , 6 7

Agora vamos descobrir o nosso gradiente para depois substituir na fórmula!!

Passo 2

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de f x , y , z = x y - x y 2 z 2 :

f x = y - y 2 z 2

f y = x - 2 x y z 2

f z = - 2 x y 2 z

Logo, o vetor gradiente é dado por:

∇ f x , y , z = y - y 2 z 2 , x - 2 x y z 2 , - 2 x y 2 z  

Logo, no ponto P , temos:

∇ f 2 , - 1,1 = - 2 ,   6 , - 4

Assim, aplicando na derivada direcional no ponto P na direção do ponto Q , obtemos:

D u f 2 , - 1,1 = - 2 ,   6 , - 4 * 3,2 , 6 7 ∴

D u f 2 , - 1,1 = - 18 7

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

D u f 2 , - 1,1 = - 18 7

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas