3 - Determine a derivada direcional de f em P na direção do vetor u → :

a) f x , y = s e n x c o s y , P = ( π / 3 , - 2 π / 3 ) , u → = 2,3 ;

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Essa é uma clássica questão de derivada direcional, no enunciado foi dada a função f , o ponto P e o vetor direcional u → .

A derivada direcional de uma função de várias variáveis diferenciável ao longo de um dado vetor  u →  em um dado ponto  P  intuitivamente representa a taxa instantânea de variação da função.

Beleza, sabemos pra que serve uma derivada direcional, mas como vamos calcula-la?? 🤔

Existe uma formulinha para se calcular a derivada direcional de uma função, em um ponto e em uma determinada direção. Dada por

D u f a , b = ∂ f a , b ∂ x , ∂ f a , b ∂ y · u → u →

A derivada direcional será o produto interno do gradiente de f no ponto P com o vetor u → unitário. a e b são as coordenadas do ponto P .

Bora para os cálculos?

Passo 2

Vamos construindo nossa derivada direcional.

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de f

∂ f ∂ x = ∂ s e n x c o s y ∂ x

cos ⁡ y se comporta como uma constante e a derivada de s e n x = cos ⁡ x , logo

∂ f ∂ x = c o s x c o s y

Com relação a y

∂ f ∂ y = ∂ s e n x c o s y ∂ y

s e n x se comporta como uma constante e a derivada de cos ⁡ y = - s e n y , logo

∂ f ∂ y = - s e n x s e n y

O próximo passo é substituir as coordenadas do ponto P em nossas derivadas parciais, onde P = π 3 , - 2 π 3 , substituímos x = π 3 e y = - 2 π 3 .

∂ f π 3 , - 2 π 3 ∂ x = c o s π 3 c o s - 2 π 3

∂ f π 3 , - 2 π 3 ∂ x = - 1 4

O mesmo com a derivada parcial em y

∂ f π 3 , - 2 π 3 ∂ y = - s e n π 3 s e n - 2 π 3

∂ f π 3 , - 2 π 3 ∂ y = - - 3 4 = 3 4

Tranquilo até agora?

Passo 3

Agora, a gente calcula o vetor u → em sua forma unitária. Sabe como fazemos isso?

Um vetor unitário é calculado dividindo ele mesmo pelo seu módulo, ou seja, dividimos ele mesmo pelo seu tamanho.

O módulo de u → é dado pela raiz da soma do quadrado das suas coordenadas, ou seja

u → = 2 2 + 3 2

u → = 13

Dessa forma u → unitário será

u → u → = 2,3 13

u → u → = 2 13 , 3 13

Por fim, substituímos nossos resultados da formulinha da derivada direcional

D u f π 3 , - 2 π 3 = ∂ f a , b ∂ x , ∂ f a , b ∂ y · u → u →

D u f π 3 , - 2 π 3 = - 1 4 , 3 4 · 2 13 , 3 13

Lembra como se calcula produto interno? Não é difícil, é basicamente o produto dos primeiros termos somados ao produto dos segundos termos.

D u f π 3 , - 2 π 3 = - 1 4 · 2 13 + 3 4 · 3 13

D u f π 3 , - 2 π 3 = - 2 4 13 + 9 4 13

D u f π 3 , - 2 π 3 = 7 4 13

Encontramos nossa derivada direcional no ponto P na direção u → !

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

D u f π 3 , - 2 π 3 = 7 4 13

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas