5 - Determine a derivada direcional máxima de f em P e a direção em que isto ocorre:

a )   f x , y = 3 x 2 + y 2 + 4 z 2 , P = 1,5 , - 2 ;

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão, nos deram uma função f e um ponto P . O objetivo principal da questão é responder as seguintes perguntas:

Qual é a derivada direcional máxima de f no ponto P ? Qual direção ela está? 🤔

Mas antes, ta ligado o que é uma derivada direcional?

Bem, de forma mais direta, a derivada direcional representa a taxa na qual a função f está variando instantaneamente em um ponto. Mas para isso precisamos de uma direção, com isso vem a pergunta “qual a direção ocorre a derivada direcional máxima?”.

Para responde-la, temos um teorema que diz o seguinte:

“O valor máximo da derivada direcional D u f de uma função diferenciável é ∇ f P e ocorre quando u tem a mesma direção e sentido que ∇ f .”

Com esse teorema, conseguimos resolver esse probleminha sem grandes dificuldades, já que já temos a derivada direcional máxima

  D u f M a x = ∇ f P

Calculamos o vetor gradiente de f e substituímos as variáveis pelas coordenadas do ponto P .

Entendeu? Bora para os cálculos então!

Passo 2

Vamos com calma, parte a parte a gente chega lá.

Primeiro vamos calcular o gradiente de f . Lembra como faz isso?

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Calculando a derivada parcial de f com relação a x , temos

∂ f ∂ x = ∂ 3 x 2 + y 2 + 4 z 2 ∂ x = 6 x

A derivada parcial de f com relação a y será

∂ f ∂ y = ∂ 3 x 2 + y 2 + 4 z 2 ∂ y = 2 y

Já a derivada parcial de f com relação a z será

∂ f ∂ z = ∂ 3 x 2 + y 2 + 4 z 2 ∂ z = 8 z

Assim nosso vetor gradiente é dado por

∇ f = 6 x , 2 y , 8 z

Tranquilo até aqui?

Passo 3

O próximo passo é substituir as coordenadas do ponto P no nosso vetor gradiente, substituindo x por 1 , y por 5 e z por - 2 .

∇ f P = 6 · 1,2 · 5,8 · - 2

∇ f P = 6,10 , - 16

Por fim, como determina o teorema, a derivada direcional máxima de f é dada pelo modulo do vetor gradiente no ponto P , ou ∇ f P . Portanto

D u f M a x = ∇ f P

O modulo de um vetor é calculado a partir da raiz da soma dos seus componentes ao quadrado, veja só

D u f M a x = 6 2 + 10 2 + - 16 2

D u f M a x = 392

Beleza, e qual a direção dessa derivada direcional?

Assim como dito no teorema, o valor máximo da derivada direcional é obtido quando sua direção for a mesma do vetor gradiente. Ou seja

d i r e ç ã o   d e   ∇ f .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

D u f M a x = 392   n a   d i r e ç ã o   d e   ∇ f .

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas