Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Suponha que no ponto ( x 0 , y 0 ) ∈ R 2 a função f   : R 2 → R tenha derivada direcional ∂ f ∂ u → x 0 , y 0 para todo versor u → ∈ R 2 . Assinale a alternativa correta.

  1. A função f não é necessariamente diferenciável em x 0 , y 0 e nem é necessariamente contínua em ( x 0 , y 0 ) .
  2. A função f admite necessariamente derivadas parciais em ( x 0 , y 0 ) e vale ∂ f ∂ u → x 0 , y 0 = ∇ f x 0 , y 0 ∙ u → para todo versor u → ∈ R 2 .
  3. A função f é necessariamente diferenciável em ( x 0 , y 0 ) .
  4. A função f admite necessariamente derivadas parciais em ( x 0 , y 0 ) e é necessariamente contínua em ( x 0 , y 0 ) .
  5. A função f não admite necessariamente derivadas parciais em ( x 0 , y 0 ) .

Passo 1

Vamos analisar cada afirmativa. Começando pela primeira:

“A função f não é necessariamente diferenciável em x 0 , y 0 e nem é necessariamente contínua em ( x 0 , y 0 ) .”

Quando aprendemos sobre derivadas direcionais, a gente aprendeu que ela podia ser calculada por uma fórmula de produto escalar e por uma definição. E que se a gente calculasse dos dois jeitos e encontrasse resultados diferentes, era porque a função não era diferenciável, e aí valia o resultado calculado pela definição.

Com isso, mesmo que a função não seja diferenciável, nós conseguimos calcular a derivada direcional pela definição de derivada direcional.

Agora, se a função não for diferenciável, ela pode ou não ser contínua. Mas se ela não precisa necessariamente nem de ser diferenciável para ter derivada direcional, ela também não precisa de ser contínua.

Isso é, se ela “passa no teste” para a condição mais restritiva (que é a de não precisar necessariamente ser diferenciável), então ela também “passa” para não precisar necessariamente ser contínua.

Por exemplo, a função

f x , y = x 2 y x 4 + y 2 ,   x , y ≠ 0,0 0   ,   x , y = 0,0

Não é contínua (e portanto não é diferenciável) em ( 0,0 ) , mas tem derivadas direcionais nesse ponto, para todo versor u → .

Uhul, já achamos nossa resposta logo no primeiro passo.

Maaas, como não tem ninguém preguiçoso aqui, vamos analisar as outras alternativas também.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Segunda afirmação:

“A função f admite necessariamente derivadas parciais em ( x 0 , y 0 ) e vale ∂ f ∂ u → x 0 , y 0 = ∇ f x 0 , y 0 ∙ u → para todo versor u → ∈ R 2 .”

Se a função tem derivadas direcionais, então ela realmente tem necessariamente derivadas parciais, pois as derivadas parciais são casos particulares das derivadas direcionais: são derivadas direcionais na direção do vetor ( x , 1 ) e do vetor ( 1 , y ) .

Mas, isso não significa que a derivada direcional vá ser calculada dessa forma pelo produto escalar, porque pode acontecer de a função ter derivadas parciais mas não ser diferenciável. Aí, nesse caso, a derivada direcional é calculada pela definição.

Falsidade pura então.

Passo 3

Terceira afirmação:

“A função f é necessariamente diferenciável em ( x 0 , y 0 ) .”

De novo isso?!

Não, né? Uma função pode ter derivada direcional num ponto, mesmo sem ser necessariamente diferenciável nesse ponto, igual vimos no passo 1 (E no passo 2 rs).

Passo 4

Quarta afirmação:

“A função f admite necessariamente derivadas parciais em ( x 0 , y 0 ) e é necessariamente contínua em ( x 0 , y 0 ) .”

Se a derivada direcional existe, isso significa que a função tem derivadas parciais, como já vimos no passo 2, mas a função não precisa ser contínua pra ter derivada direcional. Até porque, já provamos no passo 1 que ela não precisa ser necessariamente contínua pra ter derivada direcional.

Passo 5

Última afirmação:

“A função f não admite necessariamente derivadas parciais em ( x 0 , y 0 ) .”

Poxa vida! Falso né?

A gente já sabe que as derivadas parciais são casos particulares das derivadas direcionais, então se a função tem derivada direcional, então ela com certeza tem derivadas parciais.

Resposta

L e t r a   a

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