Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Elaboração Própria

Seja uma função f x , y , z diferenciável no ponto x 0 , y 0 , z 0 . Ele possui a seguinte derivada parcial em relação a x

f x x 0 , y 0 , z 0 = 1

Sabendo que a derivada direcional dessa função na direção u = 1,2 , 3 é

D u = 5

E além disso a derivada direcional desta mesma função na direção v = 3 , - 2,1 é

D v = 4

Determine o valor do vetor gradiente da função f x , y , z no ponto x 0 , y 0 , z 0 .

Passo 1

Ele quer o vetor gradiente dessa função. Mas como vamos acha-lo? Relaxa, vamos começar usando o que ele deu no enunciado, que são as derivadas direcionais na direção do vetor u e na direção do vetor v . Lembra que a derivada direcional leva em conta o vetor gradiente? O caminho é por ai. Primeiro vamos achar o vetor gradiente, já que vamos usar esse rapaz na fórmula da derivada direcional.

f P 0 = f x x 0 , y 0 , z 0 , f y x 0 , y 0 , z 0 , f z x 0 , y 0 , z 0

Já temos uma dessas derivadas, e além disso para facilitar as contas vamos escrever o vetor gradiente assim

f P 0 = 1 , f y , f z

Só para deixar mais bonitinho rs.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando pelo vetor u , devemos fazer a fórmula

D u = f P 0   . u u

Primeiro vamos achar u

u 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2

u = 1 + 4 + 9 = 14

Passo 3

A derivada direcional vai ser

D u = 1 , f y , f z   . 1,2 , 3 14

D u = 1 + 2 f y + 3 f z 14

Esse valor já temos

1 + 2 f y + 3 f z 14 = 5

1 + 2 f y + 3 f z = 5 14

Passo 4

Vamos agora para o vetor v

D v = f P 0   . v v

Primeiro vamos achar v

v 2 = 3 2 + - 2 2 + 1 2

u = 9 + 4 + 1 = 14

Passo 5

A derivada direcional vai ser

D v = 1 , f y , f z   . 3 , - 2,1 14

D v = 3 - 2 f y + f z 14

Esse valor já temos

3 - 2 f y + f z 14 = 4

3 - 2 f y + f z = 4 14

Passo 6

Vamos encontrar o sistema

1 + 2 f y + 3 f z = 5 14 3 - 2 f y + f z = 4 14

Somando as duas equações vamos encontrar

4 + 4 f z = 9 14

f z = 9 4 14 - 1

Passo 7

Vamos substituir esse valor na segunda equação para acharmos f y

3 - 2 f y + 9 4 14 - 1 = 4 14

2 - 2 f y = 4 14 - 9 4 14

2 f y = 2 - 7 4 14

f y = 1 - 7 8 14

Passo 8

Lembra de como é o vetor gradiente?

f P 0 = 1 , f y , f z

Que vai ficar

f P 0 = 1,1 - 7 8 14 , 9 4 14 - 1

Resposta

f P 0 = 1,1 - 7 8 14 , 9 4 14 - 1

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