A temperatura T de uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto ( 1 ,   2 ,   2 ) é de 120 ° . Determine a taxa de variação de T em ( 1 ,   2 ,   2 ) em direção ao ponto ( 2 ,   1 ,   3 ) .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma bola de metal em que sua temperatura varia de forma inversamente proporcional à distância do centro (origem).

Temos o dado de que a temperatura no ponto ( 1 ,   2 ,   2 ) é de 120 ° , ou seja, tomando como base o plano cartesiano, podemos reescrever da seguinte forma:

T 1,2 , 2 = 120

Queremos calcular a derivada direcional (taxa de variação) de T em ( 1 ,   2 ,   2 ) em direção ao ponto ( 2 ,   1 ,   3 ) , ou seja:

D u T 1,2 , 2 = ∇ T 1,2 , 2 ∙ u

Agora bora aqui resolver!!

😉

Passo 2

Primeiramente sabemos que T 1,2 , 2 = 120

Então

k 1 2 + 2 2 + 2 2 = 120 ∴

k = 120 9 ∴

k = 360

Agora, vamos chamar de u o vetor que descreve o sentido.

Para encontrar esse vetor, subtraímos o ponto final pelo inicial:

u = ( 2 ,   1 ,   3 ) - ( 1,2 , 2 ) ∴

u = 2 - 1,1 - 2,3 - 2 ∴

u = 1 , - 1,1

Normalizando o vetor, temos:

u = 1 , - 1,1 3  

Então a derivada direcional D u T para o ponto desejado é:

D u T 1,2 , 2 = ∇ T 1,2 , 2 ∙ u ∴

D u T 1,2 , 2 = 360 1,2 , 2 * 1 , - 1,1 3 ∴

D u T 1,2 , 2 = 120 3 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

D u T 1,2 , 2 = 120 3 3

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