Em que direção a derivada de f x , y = y x + y 2 em P ( 3,2 ) é zero?

  1. 〈 2 , - 7 〉
  2. 〈 - 7,2 〉
  3. 〈 2,7 〉
  4. 〈 7,2 〉

Passo 1

Oi, tudo bem? Vamos resolver juntos?

Primeiro vamos calcular a derivada direcional de f ( x , y ) em P . Isso pode ser feito através do gradiente!

∇ → f x , y = ∂ f ∂ x i ^ + ∂ f ∂ y j ^ = 〈 y ; x + 2 y 〉

E em P :

∇ → f 3,2 = 〈 2 ,   7 〉

Beleza?

Passo 2

Agora queremos saber em que direção isso é zero!

Bom pra termos uma derivada direcional igual a zero, precisamos saber o vetor que quando fizermos o produto escalar vai dar zero no final. Então supondo um vetor qualquer:

v → = a i ^ + b j ^

O produto escalar entre ele e o gradiente que achamos no passo anterior é:

2,7 ⋅ a , b = 2 a + 7 b

E isso tem que ser zero!

Passo 3

Então precisamos ter:

2 a + 7 b = 0

Aí uma opção é termos a = - 7 e b = 2 , daí teríamos:

2 . - 7 + 7 . 2 = 0

Assim a alternativa correta é a letra b ) :

v → = 〈 - 7,2 〉

Resposta

( b )

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas