5 - Determine a derivada direcional máxima de f em P e a direção em que isto ocorre:

b) f x , y , z = x y 2 z 3 , P = 2,2 , 2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Para resolver essa questão, temos que responder duas perguntinhas:

Qual é a derivada direcional máxima de f no ponto P ? Qual direção ela está?

Para responder essa pergunta, o enunciado nos deu duas informações: a função f e ponto P .

Mas antes, ta ligado o que é uma derivada direcional?

Bem... de forma mais direta, a derivada direcional representa a taxa na qual a função f está variando instantaneamente em um ponto.

No caso de calcular a derivada direcional máxima, temos um teorema que é fundamental pra calcular D u f M a x .

Esse teorema diz o seguinte: “O valor máximo da derivada direcional D u f de uma função diferenciável é ∇ f P e ocorre quando u tem a mesma direção e sentido que ∇ f .”

Com esse teorema, conseguimos resolver esse probleminha sem grandes dificuldades, já que já temos a derivada direcional máxima

  D u f M a x = ∇ f P

Calculamos o vetor gradiente de f e substituímos as variáveis pelas coordenadas do ponto P .

Compreendeu? Vamos por a mão na massa! 😉

Passo 2

Vamos passo a passo para construir nossa resolução.

Antes de tudo, vamos usar uma propriedade de raízes que vai facilitar nossa vida na hora de calcular o gradiente de f . Temos

f x , y , z = x y 2 z 3

Podemos separar as raízes da seguinte maneira f x , y , z = x y 2 z 3

O raiz de um produto é igual o produto das raízes. Agora sim começamos.

Primeiro vamos calcular o gradiente de f . Lembra como faz isso?

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Calculando a derivada parcial de f com relação a x , temos

∂ f ∂ x = ∂ x y 2 z 3 ∂ x

y e z se comportam como constantes, então podem sair da derivação

y 2 z 3 ∂ x ∂ x = y 2 z 3 · 1 2 x 1 2 - 1 = y 2 z 3 2 x

∂ f ∂ x = y 2 z 3 2 x

Calculando a derivada parcial de f com relação a y , temos

∂ f ∂ y = ∂ x y 2 z 3 ∂ y

x e z se comportam como constantes, então podem sair da derivação

x z 3 ∂ y 2 ∂ y = x z 3 · 1

∂ f ∂ y = x z 3

Calculando a derivada parcial de f com relação a x , temos

∂ f ∂ z = ∂ x y 2 z 3 ∂ z

x e y se comportam como constantes, então podem sair da derivação

x y 2 ∂ z 3 ∂ z = x y 2 · 3 2 z 3 2 - 1 = x y 2 · 3 z 2

∂ f ∂ z = x y 2 · 3 z 2

Está acompanhando?

Passo 3

Agora o que temos que fazer é substituir as coordenadas do ponto P nas variáveis x , y e z do nosso gradiente.

P = 2,2 , 2 e ∇ f = y 2 z 3 2 x , x z 3 , x y 2 3 z 2

O gradiente em P será

∇ f P = 2 2 2 3 2 2 , 2 2 3 , 2 2 2 3 2 2

∇ f P = 2,4 , 6

Por fim, como determina o teorema, a derivada direcional máxima de f é dada pelo modulo do vetor gradiente no ponto P , ou ∇ f P . Portanto

D u f M a x = ∇ f P

O modulo de um vetor é calculado a partir da raiz da soma dos seus componentes ao quadrado, veja só

D u f M a x = 2 2 + 4 2 + 6 ²

D u f M a x = 56

Certo! e qual a direção dessa derivada direcional?

Assim como dito no teorema, o valor máximo da derivada direcional é obtido quando sua direção for a mesma do vetor gradiente. Ou seja

d i r e ç ã o   d e   ∇ f .

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

D u f M a x = 56   n a   d i r e ç ã o   d e   ∇ f .

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas