Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em P 0 . Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.

b) f x ,   y = x 2 y + e x y sin ⁡ ( y ) ,               P 0 ( 1 ,   0 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar as direções onde a função aumenta ou diminui mais rápido, isso acontece na direção do vetor gradiente.

Então, vamos começar calculando o vetor gradiente no ponto dado, através das derivadas parciais da função e encontrando o versor (ou vetor unitário) desse gradiente (que é o vetor dividido pelo módulo dele). E as derivadas da função nessas direções vão ser dadas pelo módulo do vetor gradiente, que representa a taxa de crescimento e decrescimento.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais da função f x ,   y = x 2 y + e x y sin ⁡ ( y ) :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 y + e x y sin ⁡ ( y )

∂ ∂ x x 2 y + ∂ ∂ x e x y sin ⁡ ( y )

∂ f ∂ x = 2 x y + y e x y sin ⁡ ( y )

Agora vamos calcular a derivada parcial em relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 2 y + e x y sin ⁡ ( y )

∂ ∂ y x 2 y + ∂ ∂ y e x y sin ⁡ ( y )

Usando a regra da cadeia, temos:

∂ f ∂ y = x 2 + x e x y sin ⁡ ( y ) + cos ⁡ ( y ) e x y

Agora aplicando no ponto P 0 ( 1 ,   0 ) :

∂ f ∂ x ( 1 ,   0 ) = 2 x y + y e x y sin ⁡ ( y ) = 2 1 0 + 0 e 1 0 sin ⁡ ( 0 ) = 0

∂ f ∂ y ( 1 ,   0 ) = x 2 + x e x y sin ⁡ ( y ) + cos ⁡ ( y ) e x y = 1 2 + 1 e 1 0 sin ⁡ ( 0 ) + cos ⁡ ( 0 ) e 1 0 = 2

Então, nosso gradiente no ponto é dado por:

∇ f x ,   y ,   z 1 ,   0 = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j = 0 i + 2 j

∇ f x ,   y ,   z ( 1 , �� 0 ) = 2 j

Passo 3

Agora vamos calcular o vetor unitário do gradiente na forma:

u = ∇ f ∇ f

Calculando primeiro o módulo ∇ f , temos:

∇ f = 0 2 + 2 2 = 2

Então, o versor de ∇ f que chamamos de u é:

u = ∇ f ∇ f = 0 2 i + 2 2 j = 1 j

De acordo com a teoria, f cresce mais rapidamente na direção e sentido de ∇ f e decresce mais rapidamente na direção de - ∇ f . Ou seja, na direção de u dado um ponto P 0 , a função aumenta rapidamente e na direção - u diminui mais rapidamente:

- u = - j

Passo 4

As derivadas das funções nessas direções, ou melhor, a taxa de crescimento e decrescimento são:

∇ f = 0 2 + 2 2 = 2

- ∇ f = 0 2 + 2 2 = - 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

u = 1 j

- u = - j

∇ f = 2

- ∇ f = - 2

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas