2 – Seja f x , y uma função de classe C 1 e sejam A = 1,3 , B = 3,3 , C = 1,7 e D = 6,15 . Sabendo que a derivada direcional de f em A na direção do vetor A B → é igual a 13 e que a derivada direcional de f em A na direção do vetor A C → é igual a 26 , determine a derivada direcional de f em A na direção de A D → .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos calcular a derivada direcional de f em A na direção de A D → . Pra isso, foi dado os pontos A = 1,3 , B = 3,3 , C = 1,7 e D = 6,15 e também as derivadas direcionais de f em A nas direções A B → 13 e A C → 26 .

E aí, como podemos usar isso a nosso favor? 👀

Sabemos que a derivada direcional de f é dada pelo produto interno entre o gradiente de f e o vetor unitário da direção.

Então vamos calcular os vetores dados e ver o que podemos usar de informação.

Bora lá! 😁

Passo 2

Foi dada as derivadas direcionais em A B → e A C → . Calculando esses vetores unitários, temo

A B → A B → = 3 - 1,3 - 3 3 - 1 2 + 3 - 3 2 = 2,0 2 = 1,0

A C → A C → = 1 - 1,7 - 3 1 - 1 2 + 7 - 3 2 = 0,4 4 = 0,1

Portanto a derivada direcional de f na direção A B → é

D A B → f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y · A B → A B → = 13

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y · 1,0 = 13

∂ f ∂ x = 13

Descobrimos que a derivada de f em x no ponto A é 13 . Agora vamos fazer o mesmo para a direção A C → .

D A C → f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y · A C → A C → = 26

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y · 0,1 = 26

∂ f ∂ y = 26

E agora vimos que a derivada de f em y no ponto A é 26 .

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Com ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y obtidos, vamos calcular o vetor unitário na direção A D →

A D →   A D → = 6 - 1 , 15 - 3 6 - 1 2 + 15 - 3 2 = 5,12 13

Calculando a derivada direcional...

D A D → f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y · A D → A D →

D A D → f = 13 , 26 · 5,12 13

D A D → f = 13 · 5 13 + 26 · 12 13

D A D → f = 29

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

D A D → f = 29

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas