Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

A temperatura (em graus Celsius ) em uma placa de metal é dada por T x , y = 36 - 2 x 2 - 4 y ² , onde x e y são medidos em centímetros. Um objeto está no ponto P = ( 2,1 ) .

Se o objeto seguir na direção do vetor v = ( 1,1 ) , ele estará se aquecendo ou esfriando? (Justifique!)

Passo 1

Basta calcular a derivada direcional:

∂ T ∂ v x , y = ∇ T P ⋅ v v

⇒ ∂ T ∂ v x , y = - 8 , - 8 ⋅ ( 1,1 ) 1 2 + 1 2

⇒   ∂ T ∂ v x , y = - 8 , - 8 ⋅ 1 2 , 1 2

⇒   ∂ T ∂ v x , y = - 8 2 - 8 2 = - 16 2

⇒   ∂ T ∂ v x , y = - 16 2 2 = - 8 2 < 0

A derivada direcional é negativa então se o objeto seguir na direção do vetor v ele vai esfriar!

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Resposta

Esfriando.

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