Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V ( x , y , z ) = 5 x 2 - 3 x y + x y z .

  1. Determine a taxa de variação do potencial em P 3,4 , 5 na direção do vetor v = i + j - k .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos diz que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V ( x , y , z ) = 5 x 2 - 3 x y + x y z .

Queremos calcular a derivada direcional (taxa de variação) de V em P ( 3,4 , 5 ) em direção do vetor   1,1 , - 1 , ou seja:

D u V 3,5 , 4 = ∇ V 3,4 , 5 ∙ v

Agora bora aqui resolver!!

😉

Passo 2

Primeiramente vamos calcular o gradiente ∇ V :

∇ V x , y , z = ∂ V ∂ x i + ∂ V ∂ x j + ∂ V ∂ x k

Assim, calculando as derivadas parciais, obtemos:

∂ V ∂ x = 10 x - 3 y + y z

∂ V ∂ y = - 3 x + x z

∂ V ∂ z = x y

Logo, substituindo na fórmula do gradiente, temos:

∇ V x , y , z = 10 x - 3 y + y z i ^ + - 3 x + x z j ^ + x y k ^

Assim, para o ponto P 3,4 , 5 , temos:

∇ V 3,4 , 5 = 10 * 3 - 3 * 4 + 4 * 5 i ^ + - 3 * 3 + 3 * 5 j ^ + 3 * 4 k ^ ∴

∇ V 3,4 , 5 = 38 i ^ + 6 j ^ + 12 k ^

Passo 3

Agora, normalizando o vetor v , temos:

v = 1,1 , - 1 1 2 + 1 2 + - 1 2 =   1,1 , - 1 3

Portanto, substituindo o gradiente que encontramos e o vetor v na fórmula do Passo 1, temos:

D u V 3,5 , 4 = ∇ V 3,4 , 5 ∙ v ∴

D u V 3,5 , 4 = 38 i ^ + 6 j ^ + 12 k ^ ∙ 1,1 , - 1 3 ∴

D u V 3,5 , 4 = 32 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

D u V 3,5 , 4 = 32 3

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