Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

USP, Cálculo 2, P2 - 2016, Questão 4

Sejam a função

f x , y = 2 x 3 - 3 y 2

E x 0 , y 0 um ponto em R 2 .

Determine os pontos ( x 0 , y 0 ) que satisfazem as duas condições abaixo:

  1. f ( x 0 , y 0 ) e paralelo à reta tangente a curva x 3 y - 2 x y 3 + x y + y 2 - 1 = 0 no ponto ( 1 , - 1 )
  2. f v x 0 , y 0 = 4 5 , onde v é o versor do vetor ( 2,1 )

Passo 1

Da condição da letra a , temos que se o vetor gradiente de f é paralelo a reta tangente a curva dada, então o vetor gradiente de f é perpendicular ao vetor gradiente a curva no ponto ( 1 , - 1 ) , que é naturalmente um vetor perpendicular a curva.

Se chamarmos a curva de F ( x , y ) , temos

F x , y = x 3 y - 2 x y 3 + x y + y 2 - 1 = 0

E

F x , y = ( 3 x 2 y - 2 y 3 + y , x 3 - 6 x y 2 + x + 2 y )

Assim

F 1 , - 1 = 3 . 1 2 - 1 - 2 . - 1 3 - 1 , 1 3 - 6 . 1 . - 1 2 + 1 + 2 - 1 = ( - 2 , - 6 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como eu disse antes, esse vetor é perpendicular ao vetor f ( x 0 , y 0 ) . Isso quer dizer que:

f x 0 , y 0 F 1 , - 1 = 0

Ou seja

f x x 0 , y 0 , f y x 0 , y 0 ( - 2 , - 6 ) = 0

6 x 0 2 , - 6 y 0 ( - 2 , - 6 ) = 0

Assim, temos

- 12 x 0 + 36 y 0 = 0

Beleza, vamos guardar isso então e usar agora a segunda condição que a questão deu pra gente.

Passo 3

Essa segunda condição diz que

f v x 0 , y 0 = f x 0 , y 0 ( 2,1 ) ( 2,1 )   = 4 5

Ou seja

( 6 x 0 2 , - 6 y 0 ) ( 2,1 ) ( 2,1 )   = 4 5

6 x 0 2 , - 6 y 0 2 5 , 1 5 = 4 5

12 x 0 2 5 - 6 y 0 5 = 4 5

12 x 0 2 - 6 y 0 = 4 . 25 = 20

Opa, agora temos mais uma equação com x 0 e y 0 .

Passo 4

Ficamos então com o sistema:

- 12 x 0 2 + 36 y 0 = 0 12 x 0 2 - 6 y 0 = 20

Somando as duas equações:

30 y 0 = 20

y 0 = 2 3

E, substituindo esse resultado na primeira equação:

- 12 x 0 2 + 36 2 3 = 0

x 0 = 24 12 = ± 2

Ou sejeeeee, os pontos ( x 0 , y 0 ) que satisfazem as duas condições da questão são

2 , 2 3

E

- 2 , 2 3

Resposta

2 , 2 3

- 2 , 2 3

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