UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 13a.
13 - A equação
onde é uma constante positiva, é chamada equação de onda. Sejam e funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
a) Mostre que e satisfazem a equação da onda.
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Para essa questão foi dada uma equação que foi denominada “equação da onda” onde
A primeira coisa que podemos pensar é: “minha nossa! Não entendi nada!”
Mas relaxa, vamos por partes que no fim tudo vai fazer sentido!
Devemos provar que e satisfazem a igualdade.
e são funções que devem ter ao menos duas derivadas não nulas, ou seja, podemos derivar duas vezes que não vamos obter na derivada.
A segunda coisa que podemos pensar é: “se eu substituir e em uma função qualquer, será que funciona?”
Exatamente isso que podemos fazer, vamos escolher uma função derivável em segunda ordem e verificar a igualdade.
Entendeu? Bora lá!
Passo 2
Vamos começar com uma questão mais simples:
Podemos deriva-la duas vezes, então podemos usa-la.
Substituindo por , temos
Com isso, vamos encontrar a derivada de ordem 2 com relação a e com relação a .
Primeiro com relação a .
Derivando o resultado novamente
Agora vamos calcular as derivadas com relação a
Derivando novamente
Substituindo esses resultados na equação da onda, temos
Viu só! A igualdade foi verificada para esse caso.
Mas e se usarmos uma função diferente de um polinômio? Vamos testar?
Passo 3
E se usarmos a função ?
Essa função está dentro do requisito de ter duas derivadas. Vamos usar nesse caso.
Vamos calcular as derivadas de
Pela regra da cadeia (a derivada de dentro · derivada de fora), temos
Onde
Substituindo por de volta
Derivando o resultado novamente
Novamente pela regra da cadeia e tirando para fora da derivada, temos
Acabamos de calcular essa integral, veja só
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Agora vamos calcular as derivadas de com relação a
Sabemos que
é uma constante e não tem nenhum associados a eles, então não influencia no resultado, logo
Derivando esse resultado, temos
Substituindo nossos resultados na equação da onda
Mostramos que para uma função exponencial, a igualdade é válida também. Podemos fazer isso para qualquer função.
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
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