13 - A equação

∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2

onde c é uma constante positiva, é chamada equação de onda. Sejam f e g funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.

a) Mostre que u x , t = f x + c t e v x , t = g x - c t satisfazem a equação da onda.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Para essa questão foi dada uma equação que foi denominada “equação da onda” onde

∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2

A primeira coisa que podemos pensar é: “minha nossa! Não entendi nada!”

Mas relaxa, vamos por partes que no fim tudo vai fazer sentido!

Devemos provar que u x , t = f x + c t e v x , t = g x - c t satisfazem a igualdade.

u e v são funções que devem ter ao menos duas derivadas não nulas, ou seja, podemos derivar duas vezes que não vamos obter 0 na derivada.

A segunda coisa que podemos pensar é: “se eu substituir f e g em uma função qualquer, será que funciona?”

Exatamente isso que podemos fazer, vamos escolher uma função derivável em segunda ordem e verificar a igualdade.

Entendeu? Bora lá!

Passo 2

Vamos começar com uma questão mais simples:

f x = x 2

Podemos deriva-la duas vezes, então podemos usa-la.

Substituindo x por x + c t , temos

u x , t = f x + c t = x + c t 2

u x , t = x 2 + 2 c t x + c 2 t 2

Com isso, vamos encontrar a derivada de ordem 2 com relação a x e com relação a t .

Primeiro com relação a t .

∂ u ∂ t = 2 c x + 2 c 2 t

Derivando o resultado novamente

∂ 2 u ∂ t 2 = 2 c 2

Agora vamos calcular as derivadas com relação a x

∂ u ∂ x = 2 x + 2 c t

Derivando novamente

∂ 2 u ∂ x 2 = 2

Substituindo esses resultados na equação da onda, temos

∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2

c 2 2 = c 2 2

Viu só! A igualdade foi verificada para esse caso.

Mas e se usarmos uma função diferente de um polinômio? Vamos testar?

Passo 3

E se usarmos a função g x = e x ?

Essa função está dentro do requisito de ter duas derivadas. Vamos usar v nesse caso.

v x , t = g x - c t = e x - c t

Vamos calcular as derivadas de v

∂ v ∂ t = ∂ e x - c t ∂ t

Pela regra da cadeia (a derivada de dentro · derivada de fora), temos

∂ e x - c t ∂ t = ∂ x - c t ∂ t · ∂ e k ∂ k

Onde k = x - c t

∂ e x - c t ∂ t = - c e k

Substituindo k por x - c t de volta

∂ e x - c t ∂ t = - c e x - c t

Derivando o resultado novamente

∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ - c e x - c t ∂ t

Novamente pela regra da cadeia e tirando - c para fora da derivada, temos

∂ - c e x - c t ∂ t = - c ∂ e x - c t ∂ t

Acabamos de calcular essa integral, veja só

∂ - c e x - c t ∂ t = - c - c e x - c t

∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 e x - c t

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora vamos calcular as derivadas de v com relação a x

∂ v ∂ x = ∂ e x - c t ∂ x

Sabemos que

∂ e x ∂ x = e x

- c t é uma constante e não tem nenhum x associados a eles, então não influencia no resultado, logo

∂ e x - c t ∂ x = e x - c t

Derivando esse resultado, temos

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ e x - c t ∂ x = e x - c t

∂ 2 u ∂ x 2 = e x - c t

Substituindo nossos resultados na equação da onda

∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2

c 2 e x - c t = c 2 e x - c t

Mostramos que para uma função exponencial, a igualdade é válida também. Podemos fazer isso para qualquer função.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2

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