Calcule a derivada direcional de f x , y , z = 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 nos pontos do hiperboloide z 2 - x 2 - y 2 = 1 , na direção normal à este hiperboloide. Expresse o resultado em função de x   e   y .

Passo 1

Para calcular a derivada direcional de ( f x , y , z = 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 ) nos pontos do hiperboloide ( z 2 - x 2 - y 2 = 1 ) na direção normal a este hiperboloide, você pode usar o gradiente de ( f x , y , z ) e o vetor normal ao hiperboloide. Iremos realizar todos os cálculos em função de um ponto P = ( x , y , z ) arbitrário.

Primeiro, vamos calcular o gradiente de ( f x , y , z ) :

[ ∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = 4 x , 4 y , 2 z ]

Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao hiperboloide ( z 2 - x 2 - y 2 = 1 ) . Podemos escrever a equação do hiperboloide na forma implícita como ( F x , y , z = z 2 - x 2 - y 2 - 1 ) . O vetor gradiente ( ∇ F x , y , z ) é normal à superfície dada por ( F x , y , z ) .

[ ∇ F x , y , z = - 2 x , - 2 y , 2 z ]

Agora, queremos a direção normal, que é o vetor normal normalizado:

[ n = ∇ F | ∇ F | = 1 4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 - 2 x , - 2 y , 2 z = - x x 2 + y 2 + z 2 i + - y x 2 + y 2 + z 2 j + z x 2 + y 2 + z 2 k ]

Agora, podemos calcular a derivada direcional de ( f ) na direção normal ao hiperboloide:

[ ∇ f ⋅ n = 4 x , 4 y , 2 z ⋅ - x x 2 + y 2 + z 2 , - y x 2 + y 2 + z 2 , z x 2 + y 2 + z 2 ]

[ = - 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 + - 4 y 2 x 2 + y 2 + z 2 + 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 ]

Passo 2

Agora, substituindo ( z 2 = 1 + x 2 + y 2 ) (a equação do hiperboloide), obtemos:

[ ∇ f ⋅ n = - 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 + - 4 y 2 x 2 + y 2 + z 2 + 2 1 + x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 ]

Agora, podemos expressar o resultado em função de ( x )   e   ( y ) substituindo ( z 2 ) pela equação do hiperboloide:

[ ∇ f ⋅ n = - 4 x 2 x 2 + y 2 + x 2 + y 2 + 1 + - 4 y 2 x 2 + y 2 + x 2 + y 2 + 1 + 2 x 2 + y 2 + 1 x 2 + y 2 + x 2 + y 2 + 1 ]

Simplificando:

[ ∇ f ⋅ n = - 4 x 2 2 x 2 + 2 y 2 + 1 + - 4 y 2 2 x 2 + 2 y 2 + 1 + 2 x 2 + y 2 + 1 2 x 2 + 2 y 2 + 1 ]

Resposta

[ ∇ f ⋅ n = - 4 x 2 2 x 2 + 2 y 2 + 1 + - 4 y 2 2 x 2 + 2 y 2 + 1 + 2 x 2 + y 2 + 1 2 x 2 + 2 y 2 + 1 ]

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas