14 - O capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição P 0 = 1,1 , 1 , e a temperatura da blindagem de sua espaçonave num ponto x , y , z é dada por T x , y , z = e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 graus.

a) Que direção ele deve tomar para perder temperatura o mais rápido possível?

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

“Atenção, Atenção! Sou o capitão Astro e estou em perigo! Me encontro na posição P 0 = 1,1 , 1 e a temperatura em um sensor da minha aeronave está variando de acordo com a função T x , y , z = e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 ! Me ajudem!! Câmbio desligo!”

Essa foi a mensagem recebida por uma base militar em algum lugar do Responde Aí. A princípio o operador de rádio ficou assustado, pois essas coisas quase nunca acontecem, então ele falou

Mas logo em seguida ele pensou “no Responde Aí, esse problema vai ter solução!”. Com isso ele ligou para os nossos profissionais e perguntou o que podíamos fazer para solucionar o problema.

A resposta foi “se a temperatura está variando de acordo com uma função, vamos descobrir a direção em que a função cresce mais rapidamente e vamos partir para a direção contrária”

Mas eaí! Como descobrimos a direção em que T mais aumenta? E como calculamos a direção contrária??

Relaxa, veja só!

Passo 2

Estamos estudando algo que pode nos ajudar, a derivada direcional. Sabemos que a derivada direcional de uma função em uma direção de um vetor u unitário resulta em uma taxa de variação da função, não é? onde

D u T = ∇ T · u

Lembre-se que a direção de maior variação de T será quando u e ∇ T estiverem na mesma direção, ou seja

Calculando ∇ T vamos encontrar a direção em que a função T mais cresce, se fizermos - ∇ T , vamos encontrar a direção em que T mais diminui, concorda?

Bora lá! O gradiente de T é dado pelas derivadas parciais, onde

∇ T = T x , T y , T z

Bora calcular esse gradiente.

Primeiro, vamos encontrar T x

T x = ∂ e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 ∂ x

Para essa derivada, vamos utilizar a regra da cadeia, lembra? “a derivada de dentro · derivada de fora”

Fazendo k = - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2

∂ e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 ∂ x = ∂ - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 ∂ x · ∂ e k ∂ k

Por derivada de polinômios e a derivada de e k , temos

T x = - 2 x e k

Substituindo k por - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 de volta, temos

T x = - 2 x e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2

Compreendeu?

Passo 3

Vamos encontrar os outros dois termos do nosso gradiente. Agora T y

T y = ∂ e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 ∂ x

Vamos ter que aplicara a regra da cadeia novamente, fazendo h = - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2

∂ e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 ∂ y = ∂ - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 ∂ y · ∂ e h ∂ h

Por derivada de polinômios e a derivada de e é igual a e , então

T y = - 4 y e h

Substituindo h por - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2

T y = - 4 y e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2

Por último, vamos calcular T z do nosso gradiente

T z = ∂ e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 ∂ z

Novamente vamos aplicar a regra da cadeia, onde n = - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2

∂ e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 ∂ z = ∂ - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 ∂ z · ∂ e n ∂ n

Por derivada de polinômios e derivada de Euler, temos

T z = - 6 z e n

Substituindo n por - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2

T z = - 6 z e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2

Bacana, não é?

Passo 4

Nosso gradiente, portanto, é

∇ T = - 2 x e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 , - 4 y e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 , - 6 z e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2

Ok, mas para saber a direção, devemos saber onde o Capitão Astro está, para isso, temos que substituir as coordenadas de P 0 no gradiente

∇ T P 0 = - 2 1 e - 1 2 - 2 1 2 - 3 1 2 , - 4 1 e - 1 2 - 2 1 2 - 3 1 2 , - 6 1 e - 1 2 - 2 1 2 - 3 1 2

∇ T P 0 = - 2 e - 6 , - 4 e - 6 , - 6 e - 6

Esse é o vetor que direciona para onde a temperatura mais vai subir, lembra?

Devemos ir para a direção contrária, ou seja

u = - ∇ T P 0 = 2 e - 6 , 4 e - 6 , 6 e - 6

Podemos perceber que temos um operador em comum nesse vetor, no caso, 2 e - 6 .

Esse operador não muda a direção, apenas a magnitude, então

u = 2 e - 6 1 , 2,3

Portanto a direção que o capitão deve seguir é 1 , 2,3 !

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

u = 1 , 2,3

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