Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Considere as seguintes afirmações:

  1. Se f ( x , y ) é diferenciável em R 2 e tal que ∂ f ∂ x 1 , - 3 < 0 e ∂ f ∂ y 1 , - 3 < 0 existem, então ∂ f ∂ u → 1 , - 3 < 0 para todo vetor unitário u → ∈   R 2
  2. Existe uma função diferenciável f ( x , y ) em R 2 tal que o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,2 , 0 ) é z = x + 2 y - 5
  3. Existe uma função f ( x , y ) de classe C 2 tal que ∂ f ∂ x = x + 3 e ∂ f ∂ y = 5 x - y
  4. Seja f ( x , y ) é diferenciável em R 2 e considere os vetores unitários u → = 1 2 , 3 2 e v → = - 3 2 , 1 2 . Então para todo x , y ∈ R 2 ,   ∇ f x , y = ∂ f ∂ u → u → + ∂ f ∂ v → v → .
  5. Se f   : R 2 → R tem derivada direcional ∂ f ∂ u → ( 0,0 ) para todo vetor unitário u → ∈ R 2 , então f é diferenciável em ( 0,0 ) .

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
  2. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
  3. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
  4. Apenas as afirmações I e V são falsas.
  5. Apenas as afirmações III, IV e V são falsas.

Passo 1

Vamos analisar cada afirmativa.

“Se f ( x , y ) é diferenciável em R 2 e tal que ∂ f ∂ x 1 , - 3 < 0 e ∂ f ∂ y 1 , - 3 < 0 existem, então ∂ f ∂ u → 1 , - 3 < 0 para todo vetor unitário u → ∈   R 2

A gente calcula a derivada direcional através de um produto escalar, assim:

∂ f ∂ u → P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u   = ∂ f ∂ x P 0 ∙ u x + ∂ f ∂ y P 0 ∙ u y

Como a gente sabe que as duas coordenadas do nosso vetor gradiente são negativas, se as duas coordenadas ( u x , u y ) do vetor unitário u → forem negativas também, então o produto escalar será positivo (menos com menos dá mais), o que significa que essa afirmativa é falsa.

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Passo 2

“Existe uma função diferenciável f ( x , y ) em R 2 tal que o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,2 , 0 ) é z = x + 2 y - 5

É verdade que no ponto de tangencia, a função pode ser aproximada linearmente pelo plano tangente, certo? E aí a gente diz que nesse ponto, o gráfico da função e o plano tangente se confundem, ou seja, são a mesma coisa.

Então se a gente definir uma função

z = f x , y = x + 2 y - 5

Podemos dizer que essa é a função diferenciável tal que o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,2 , 0 ) é z = x + 2 y - 5 .

Afirmativa verdadeira.

Passo 3

“Existe uma função f ( x , y ) de classe C 2 tal que ∂ f ∂ x = x + 3 e ∂ f ∂ y = 5 x - y

Primeira coisa é: o que é uma função de classe C 2 ? É uma função que tem derivada parciais de segunda ordem contínuas.

E se ela tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, isso significa que as derivadas parciais mistas teriam ser iguais.

Mas se a gente for calcular a gente vai ver que

∂ f ∂ x = x + 3

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 0

∂ f ∂ y = 5 x - y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 5

Então quer dizer...

Deu diferente né... E era pra dar igual.

Afirmativa falsa!

Passo 4

“Seja f ( x , y ) é diferenciável em R 2 e considere os vetores unitários u → = 1 2 , 3 2 e v → = - 3 2 , 1 2 . Então para todo x , y ∈ R 2 ,   ∇ f x , y = ∂ f ∂ u → u → + ∂ f ∂ v → v → .”

Se você reparar, os vetores u → e v → formam uma base ortonormal, pois o produto escalar entre eles dois é nulo e o produto escalar deles entre si é um, já que afinal são vetores unitários.

Beleza. Além disso, se a gente escrever

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = α u → + β v →

Lá da álgebra linear, temos que

α = ∇ f ∙ u → = ∂ f ∂ u →

β = ∇ f ∙ v → = ∂ f ∂ v →

Logo, essa afirmativa é verdadeira.

Passo 5

“Se f   : R 2 → R tem derivada direcional ∂ f ∂ u → ( 0,0 ) para todo vetor unitário u → ∈ R 2 , então f é diferenciável em ( 0,0 ) .”

Isso é falso né? Uma função não precisa ser diferenciável num ponto para ter derivada direcional nele.

É justamente para os casos em que a função não é diferenciável em algum ponto que existe a definição de derivada direcional:

∂ f ∂ u P 0 = lim t → 0 ⁡ f P 0 + t u - f P 0 t u

Então quer dizer que mesmo funções que não são diferenciáveis em P 0 podem ter uma derivada direcional.

E isso acontece geralmente com funções definidas por partes, por exemplo, essa função aqui:

f x , y = x 3 x 2 + y 2 x , y ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

Ela não é diferenciável na origem, mas tem derivada direcional na origem, que pode ser calculada pela definição.

Resposta

L e t r a   a

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