O potencial numa lâmina plana é dado por V x , y = 80 - 20 x e - x 2 + y 2 20 em volts.a) Determine a taxa de variação do potencial em (1,1) na direção da origem.

Passo 1

a) Para calcular a derivada de uma função f x , y na direção de um vetor u em um ponto dado P 0 a gente precisa calcular isso aqui

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0   . u | u |

No fundo a gente está fazendo o produto escalar do vetor gradiente daquela função com o vetor unitário associado ao vetor dado. Vamos calcular cada um desses caras agora.

Vamos começar com o vetor unitário. O exercício nos fala que precisamos calcular a derivada no ponto (1,1) na direção da origem. Por isso, o vetor do problema é o vetor que liga o ponto P 0 a origem O . A gente calcular esse cara fazendo

u =   P 0 O → = 0,0 -   1,1 u = 0 - 1 ,   0 - 1 =   ( - 1 , - 1 )

Uma vez que a gente tem o vetor, vamos calcular seu módulo

u = ( - 1 ) 2 + ( - 1 ) 2 = 2

Agora a gente divide o vetor u pelo seu módulo

u | u | =   ( - 1 , - 1 ) 2 = - 1 2 , -   1 2

Passo 2

Vamos agora calcular o vetor gradiente da função

f x , y = V x ,   y = 80 - 20 x e - x 2 + y 2 20    

Lembrando que o vetor gradiente é um vetor que tem como componentes as derivadas parciais da função

∇ f x , y = f x ,   f y

Precisamos calcular essas derivadas parciais. Temos então

f x x , y =   - 20   e - x 2 + y 2 20 + 2   x 2 e - x 2 + y 2 20

f y x , y =   - 2   x y   e - x 2 + y 2 20

Vamos calcular agora essas derivadas no ponto P 0 = ( 1,1 )

f x 1,1 =   - 20   e - 1 + 1 20 + 2   e - 1 + 1 20 =   - 18  

f y 1,1 =   - 2   e - 1 + 1 20 =   - 2  

Então temos

∇ f P 0 = ( - 18 ,   - 2 )

Passo 3

Agora podemos calcular a derivada direcional

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0   . u | u |

∂ f ∂ u P 0 =   ( - 18 , - 2 )   . - 1 2 , -   1 2

∂ f ∂ u P 0 = - 18 .   - 1 2 + - 2 .   - 1 2

∂ f ∂ u P 0 =     1 2   18 + 2      

∂ f ∂ u P 0 =     20 2  

∂ f ∂ u P 0 =   10   2  

Resposta

∂ f ∂ u P 0 =   10   2  

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas