13 - A equação

∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2

onde c é uma constante positiva, é chamada equação de onda. Sejam f e g funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.

c) Confirme que ϕ x , t = s e n t s e n x satisfaz a equação da onda com c = 1 , e então use identidades trigonométricas apropriadas para expressar essa função na forma f x + t + g x - t .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Foi dada uma equação que chamaram de “equação de onda”, onde

∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2

Aí você para e pensa: “que negócio cabuloso é esse??!”

Calma, vou te explicar.

A equação da onda é obtida a partir de uma função u x , t onde a segunda derivada de u com relação a t é igual a uma constante ao quadrado multiplicado pela segunda derivada de u com relação a x .

No caso foi dada uma função ϕ , onde

ϕ x , t = s e n t s e n x

O objetivo dessa questão é verificar se ϕ satisfaz a equação da onda quando c = 1 e depois escrever ϕ como f x + y + g x - y

Entendeu? Bora para os cálculos!

Passo 2

A primeira coisa é verificar se ϕ satisfaz a equação da onda, pra isso vamos calcular as derivadas de segunda ordem com relação a t e x .

Primeiro derivamos com relação a t

∂ ϕ ∂ t = ∂ s e n t s e n x ∂ t

Nesse caso, s e n x se comporta como uma constante e a derivada do s e n é o c o s

∂ s e n t s e n x ∂ t = s e n x ∂ s e n t ∂ t

∂ ϕ ∂ t = c o s t s e n x

Vamos derivar o resultado novamente para obter a derivada de segunda ordem

∂ 2 ϕ ∂ t 2 = ∂ c o s t s e n x ∂ t

Novamente s e n x se comporta como uma constante e a derivada do c o s é - s e n

∂ c o s t s e n x ∂ t = s e n x ∂ c o s t ∂ t

∂ 2 ϕ ∂ t 2 = - s e n t s e n x

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos obter as derivadas de ϕ com relação a x

∂ ϕ ∂ x = ∂ s e n t s e n x ∂ x

Agora é a vez de s e n t se comportar como uma constante e como vimos antes, a derivada do s e n é c o s .

∂ s e n t s e n x ∂ x = s e n t ∂ s e n x ∂ x

∂ ϕ ∂ x = s e n t c o s x

Vamos derivar o resultado novamente para obter a derivada de ordem 2.

∂ 2 ϕ ∂ x 2 = ∂ s e n t c o s x ∂ x

Novamente s e n t sai fora da derivada e a derivada do c o s é igual a - s e n

∂ s e n t c o s x ∂ x = s e n t ∂ c o s x ∂ x

∂ 2 ϕ ∂ x 2 = - s e n t s e n x

Encontramos as duas derivadas de segunda ordem de ϕ , bora ver se a equação da onda foi satisfeita?

Passo 4

Substituindo os valores que calculamos anteriormente em

∂ 2 ϕ ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 ϕ ∂ x 2

Para c = 1 , temos

- s e n t s e n x = 1 2 - s e n t s e n x

- s e n t s e n x = - s e n t s e n x

Vemos que a equação da onda é satisfeita!

Por fim, temos que lembrar de uma identidade trigonométrica para escrever ϕ como f x + y + g x - y

Se ϕ x , t = s e n t s e n x , é o produto entre dois senos, lembre-se que

s e n a s e n b = 1 2 cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b

Usando essa propriedade, podemos escrever

ϕ x , t = s e n t s e n x = 1 2 cos ⁡ t - x - cos ⁡ t + x

Fazendo a multiplicação de 1 / 2

ϕ x , t = cos ⁡ t - x 2 - cos ⁡ t + x 2

Com isso vemos que

g x - y = cos ⁡ t - x 2 f x + y = - cos ⁡ t + x 2

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

ϕ x , t satisfaz ∂ 2 ϕ ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 ϕ ∂ x 2

ϕ x , t = cos ⁡ t - x 2 - cos ⁡ t + x 2

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