Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

USP, Cálculo 2, P2 - 2011, Questão 4

A função f : R 2 R é diferenciável em 5 , - 1 e a parábola x = 2 y 2 - 3 y é a curva de nível 2 de f . Sabe-se ainda que a imagem da curva

γ t = t 2 + 1 , - t + 1 , t 2 - t + 2 t 2 - t       t > 1

está contida em f .

Determine o vetor f 5 , - 1 e calcule a derivada direcional de f em 5 , - 1 e na direção e sentido do versor de v = - 1,1 .

Passo 1

Sabemos que a parábola é uma curva de nível 2, certo? Então, o vetor tangente no ponto 5 , - 1 dessa curva é perpendicular ao vetor gradiente de f no mesmo ponto, pois o vetor gradiente é normal a curva de nível!

Sendo assim, vamos, antes de mais nada, parametrizar a parábola, para depois derivar sua equação:

x = 2 y 2 - 3 y

Chamando y = t , teremos:

x t = 2 t 2 - 3 t

E a parábola fica sendo σ t = 2 t 2 - 3 t , t , 2

Essa terceira coordenada igual a 2 é para nos lembrar de que ela é uma curva de nível 2 , logo, está no plano z = f x , y = 2 ;)

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Passo 2

Agora, derivemos a equação da parábola:

σ ' t = 4 t - 3,1 , 0

E vamos dizer que o produto escalar entre esse vetor e o f 5 , - 1 é 0 , pois são perpendiculares!

f 5 , - 1 . 4 t - 3,1 = 0

Como o vetor gradiente de f é formado pelas derivadas parciais,

f x . 4 t - 3 + f y . 1 = 0

Ok, mas e o valor desse parâmetro t ? Quando ele vale? Ele deve ser tal que, na equação da parábola, dê o ponto 5 , - 1 ! Então, ele deve valer - 1 , pois σ - 1 = 2 . - 1 2 - 3 . - 1 , - 1 = 5 , - 1 . E, colocando t = - 1 na equação do produto escalar aqui em cima, teremos:

f x . 4 . - 1 - 3 + f y = 0

- 7 f x . + f y = 0

Lembrando, também, que as derivadas parciais f x e f y são ambas calculadas no ponto 5 , - 1 ! Não escrevi na equação para a visão não ficar poluída.

Passo 3

Ok, temos agora que analisar a outra curva que nos foi dada, e descobrir mais uma relação entre as derivadas parciais, para podermos juntar com a que acabamos de encontrar, resolver um sistema, e, enfim, conseguir esse vetor gradiente!

Sem mais papo, aqui podemos fazer a mesma coisa que fizemos com a parábola! E ainda temos menos trabalho, pois a curva já está parametrizada ;) Então, se temos

γ t = t 2 + 1 , - t + 1 , t 2 - t + 2 t 2 - t

Pela regra da cadeia, temos a relação a seguir:

d f d t = f γ ' t

E, agora, é só substituir valores! Lembrando, que, como f é função de duas variáveis, se a curva γ t está contida em f , então

f γ t = t 2 - t + 2 t 2 - t

Ou seja, colocando o parâmetro t na curva, teremos o mesmo valor para a terceira coordenada que teríamos colocando x e y em f . Então, nessa equação aí de cima, γ ' t é composta pelas duas primeiras coordenadas derivadas de γ t , e d f d t é a terceira coordenada de γ t derivada também :D

Passo 4

Dito isto, comecemos a calcular as derivadas todas que vêm por aí. Começando pela derivada da curva. Para isso, basta derivar cada componente no seu respectivo lugar:

γ ' t = 2 t , - 1 , 2 t - 1 . t 2 - t - 2 t - 1 t 2 - t + 2 t 2 - t 2  

γ ' t = 2 t , - 1 , 2 t - 1 . - 2 t 2 - t 2  

Agora que temos as derivadas das coordenadas de γ t , vejamos o valor que t deve assumir para que tenhamos o ponto 5 , - 1 :

γ 2 = 2 2 + 1 , - 2 + 1

Viu? Colocando t = 2 , temos as duas primeiras coordenadas de γ t iguais a 5 , - 1 . Fui direto por que isso é basicamente olha pra componente x ou y e ver o que você colocaria para dar o resultado que você quer XD

Passo 5

Colocando t = 2 na equação da derivada, teremos:

γ ' 2 = 2.2 , - 1 , 2.2 - 1 . - 2 2 2 - 2 2   = 4 , - 1 , - 6 4

Agora, substituindo as duas primeiras coordenadas em γ ' t e a terceira em d f d t , na equação da regra da cadeia, temos:

- 6 4 = f x , f y 4 , - 1

4 f x - f y = - 3 2

Passo 6

Juntando essa nova relação com a anterior, temos:

- 7 f x . + f y = 0 4 f x - f y = - 3 2  

Resolvemos o sistema somando uma equação com a outra:

- 3 f x = - 3 2

f x = 1 2

E, colocando esse valor na equação de cima,

f y = 7 2

Aí sim!! Conseguimos, finalmente, encontrar o vetor gradiente!!

f 5 , - 1 = f x 5 , - 1 , f y 5 , - 1 = 1 2 , 7 2

Passo 7

b) Essa agora é simples! Só precisamos da definição de derivada parcial, e, como já temos o vetor gradiente e o vetor diretor da derivada, só substituir valores!

D v f 5 , - 1 = f 5 , - 1 . v v

Como v = - 1,1 , v = - 1 2 + 1 2 = 2 . Como f 5 , - 1 = 1 2 , 7 2 ,

D v f 5 , - 1 = 1 2 , 7 2 . - 1 2 , 1 2

D v f 5 , - 1 = 3 2

Resposta

a) f 5 , - 1 = 1 2 , 7 2

b)   D v f 5 , - 1 = 3 2

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