14 - O capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição P 0 = 1,1 , 1 , e a temperatura da blindagem de sua espaçonave num ponto x , y , z é dada por T x , y , z = e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 graus.

c) Infelizmente, a blindagem da espaçonave se danificará se a taxa de variação da temperatura for inferior a 14 e 2 graus/s. Que conjunto de possíveis direções ele pode tomar sem causar danos à sua espaçonave, a partir de P 0 , com a velocidade do item (b)?

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Continuando o drama vivido pelo nosso Capitão que está em perigo, já descobrimos a melhor direção para a nave seguir e qual será a taxa de variação da temperatura se ele seguir nessa direção.

Foi dito que se a taxa de variação de temperatura for menor que e 2 14 a nave será danificada.

Com isso, podemos dizer que não é necessário tomarmos a direção u = 1,2 , 3 para sobreviver. Se a nave aguenta uma taxa de variação menos, podemos tomar direções diferentes.

Ok, mas como vamos encontrar esse conjunto de direções??

Vamos definir um vetor v onde será a direção limite em que a nave pode seguir. Depois disso, vamos descobrir o ângulo que esse vetor faz com o vetor u .

Entendeu? Bora ver!

Passo 2

Vamos usar a ideia da derivada direcional, onde ela nos diz a taxa de variação de T em uma certa direção v . Veja só

D v T = ∇ T P 0 v cos ⁡ θ

D v T representa a taxa de variação, no caso e 2 14 e temos ∇ T P 0 , então resta calcular seu módulo. Ou seja

∇ T P 0 = | - 2 e - 6 | 1 2 + 2 2 + 3 2

∇ T P 0 = 2 e - 6 14

Substituindo esse resultado em D v T , temos

e 2 14 = 2 e - 6 14 v cos ⁡ θ

Mas espera aí!! Lembra que a nave viaja a e 8 unidades de comprimento por segundo?? Então, temos que adicionar esse valor no cálculo!

e 2 14 = 2 e - 6 14 v cos ⁡ θ · e 8

Seguindo as propriedades de potências

e 2 14 = 2 e - 6 + 8 14 v cos ⁡ θ

e 2 14 = 2 e 2 14 v cos ⁡ θ

Com isso, vemos que

v cos ⁡ θ = e 2 14 2 e 2 14

v cos ⁡ θ = 1 2

Entendeu o que fizemos?

Passo 3

Descobrimos que v faz um ângulo com a direção do gradiente, cujo cosseno dele é ½ . Que ângulo é esse??

Basta calcularmos seu a r c c o s

cos - 1 ⁡ 1 2 = π 3

Ou seja, o ângulo máximo da direção em que a nave pode fazer com o vetor que calculamos no item a), é de π / 3 !!

Então qualquer ângulo entre

0 ≤ θ ≤ π 3

Vai salvar nossa tripulação.

Agora é só avisar nosso capitão!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

0 ≤ θ ≤ π 3

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas