(Capítulo 14.6 – Exercício 12) Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → .

f x , y = x x 2 + y 2 ,                     1 ,   2 ,               v → = ( 3 ,   5 )

Passo 1

Faaaala pessoal, vamos lá!

A questão pede para calcular a derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) na direção do vetor v → .

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) na direção de um vetor u → unitário qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Mas atenção: a gente SEMPRE precisa garantir que o vetor que dá a direção esteja normalizado ok? Ou seja, o módulo dele sempre deve valer 1! Caso isso não aconteça, vamos dividir o vetor pelo seu próprio módulo, pra aí encontrarmos o vetor normalizado.

Então vamos lá

Passo 2

O vetor dado é

v → = ( 3,5 )

Neste caso, v → não está normalizado, porque olha quem é o módulo dele:

v → = 9 + 25 = 34

Logo,

v ^ = v → v → = 3 34 , 5 34

Showw, então agora sim o nosso vetor é unitário

É esse vetor que vamos usar para calcular a derivada direcional

Passo 3

Agora vamos encontrar o gradiente de f :

f x , y = x x 2 + y 2

Suas derivadas parciais são:

∂ f ∂ x = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = - 2 x y x 2 + y 2 2

Então, o gradiente da função é

∇ f x ,   y = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 ,   - 2 x y x 2 + y 2 2

Portanto, no ponto a ,   b = ( 1 ,   2 ) :

∇ f 1 ,   2 = 3 25 , - 4 25

Passo 4

Agora sim, temos todas as informações para calcular a derivada direcional:

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ v ^

D u f 1 ,   2 = 3 25 , - 4 25 ⋅ 3 34 , 5 34

Logo,

D u f 1 ,   2 = - 11 25 34

Resposta

D u f 1 ,   2 = - 11 25 34

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas