Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.

  1. Se f : R 2 → R é uma função diferenciável tal que f x - 3,2 2 + f y - 3,2 2 ≠ 0 então para todos os vetores unitários u → , D u f ( - 3,2 ) ≠ 0 .

Passo 1

Precisamos dizer se essa afirmação é real com base nas informações do enunciado. Mas por que ele fala de derivadas parciais e derivadas direcionais? Pode ser porque esses dois assuntos se relacionam na fórmula de uma derivada direcional:

D u f P 0 = ∇ f P 0 ⋅ v → v →

Então a gente vai tentar usar essa informação para resolver a questão.

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Passo 2

Vamos entender a primeira informação que ele dá:

f x - 3,2 2 + f y - 3,2 2 ≠ 0

Ele diz que a soma de dois termos ao quadrado é diferente de zero. Concorda que para isso acontecer, pelo menos um desses termos precisa ser diferente de zero? Então o que ele está dizendo é que ou f x ou f y são diferentes de zero, ou f x e f y são diferentes de zero.

Então a gente pode dizer que ∇ f ( - 3,2 ) pode ter uma dessas formas, sendo a e b constantes:

a , b ,   a , 0 , ( 0 , b )

Passo 3

A afirmação diz que se isso acontece, todas as derivadas direcionais de f são diferentes de 0 , para qualquer vetor unitário.

Mas vamos analisar a fórmula de derivada direcional para esse caso:

D u f - 3,2 = ∇ f - 3,2 ⋅ u →

A gente quer saber se D u f - 3,2 pode zerar. Percebe que a gente tem um produto escalar nessa fórmula e a única maneira de um produto escalar zerar é se tivermos dois vetores perpendiculares. Então quer dizer que se o vetor unitário for normal a ∇ f ( - 3,2 ) , a derivada direcional zera. Logo, essa afirmação é falsa.

Por exemplo, usando uma das formas que a gente definiu para o vetor gradiente ∇ f - 3,2 = ( a , b ) . Se nosso vetor unitário for ( - b , a ) , que é perpendicular a ( a , b ) :

D u f - 3,2 = a , b ⋅ - b , a = - a b + a b = 0

Resposta

Falsa

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