Suponha que um alpinista esta escalando um morro cujo formato é dado pela equação z = 1000 - 0,01 x 2 - 0,02 y 2 , onde x , y , z são dados em metros, e o alpinista esteja no ponto de coordenadas ( 10,20,991 ) . O eixo positivo dos x aponta para o leste e o eixo positivo y aponta para o norte. Se o alpinista caminhar na direção sudoeste, ele irá ....., a uma taxa de, aproximadamente, .... metros verticais por metros horizontais.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado contou uma história sobre um alpinista e perguntou o que acontece com ela se ele andar na direção sudoeste, isso só tem um cheiro: de derivada direcional!

Caminhar para o sudoeste (eixo y negativo – SUL– e eixo x negativo – OESTE) é a mesma coisa que ir na direção do vetor v → = 〈 - 1 2 , - 1 2 , 0 〉 (o vetor aqui tem que estar normalizado tá? =D).

Como relembrar é viver...

A derivada direcional é dada por:

∂ F ∂ v → = ∇ → F ⋅ v → v →

Então a gente precisa achar o gradiente da função de superfície F x , y , z = z - f x , y , aplicar no ponto dado, e fazer o produto escalar com o vetor que dá a direção do movimento.

Mas calma! Vou fazer juntinho com você! Cola comigo e vamos lá!

Passo 2

A função F é:

F x , y , z = z - f x , y = z - 1000 + 0,01 x 2 + 0,02 y 2

E o gradiente é:

∇ → F = ∂ ∂ x z - 1000 + 0,01 x 2 + 0,02 y 2 i ^ + ∂ ∂ y z - 1000 + 0,01 x 2 + 0,02 y 2 j ^ + ∂ ∂ z z - 1000 + 0,01 x 2 + 0,02 y 2 k ^

∇ → F = 0,02 x ;   0,04 y ; 1

Beleza?

Passo 3

Agora vamos aplicar esse vetor o ponto dado P ( 10,20,991 ) :

∇ → F = 0,02 x ;   0,04 y ; 1

∇ → F 10,20,991 = 〈 0,2 ; 0,8 ; 1 〉

E a direção do movimento é:

v → = - 1 2 , - 1 2 , 0

Passo 4

E agora fazer o produto escalar entre o vetor gradiente e vetor direção:

∂ F ∂ v = 0,2 ; 0,8 ; 1 ⋅ - 1 2 , - 1 2 , 0

∂ F ∂ v = - 0,2   . 1 2 - 0,8 . 1 2 + 0 = - 1 2 = - 0,70

Portanto a resposta correta é: Ele irá descer a uma taxa de 0,70 metros verticais por metros horizontais

Beleza?

Resposta

Ele irá descer a uma taxa de 0,70 metros verticais por metros horizontais

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas