Calcule a derivada direcional de f x , y = 2 x 2 + y 2 no ponto ( - 1,1 ) e na direção 2 i ^ + 3 j ^

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou deixá-la mais fácil para você! O problema nos deu uma função de duas variáveis

f x , y = 2 x 2 + y 2

P ( - 1,1 ) e na direção de um vetor! No nosso caso v → = 2 i ^ + 3 j ^

Mas como assim derivada na direção de um vetor? É que quando estamos falando de superfícies (em 3d) podemos querer saber como essa região está variando em uma determinada direção, como por exemplo ao longo do eixo x !

Mas não precisa ser na direção de um dos eixos cartesianos, pode ser na direção de qualquer vetor. O que precisamos garantir é que esse vetor seja UNITÁRIO

Então a primeira coisa a se fazer é encontrar o vetor unitário que esteja na mesma direção do vetor v → :

u → = v → v →

E depois? Depois é só aplicar a fórmula da derivada direcional! Ela envolve o produto escalar do vetor gradiente com esse vetor unitário:

D u f = ∇ f → ⋅ u →

E aquele ponto? Bom, queremos saber qual é a derivada direcional no ponto P em específico, então achando o vetor gradiente, é só aplicar ele no ponto P e fazer o produto escalar!

Vamos seguir esses passos

  • Achar o unitário de v →
  • Calcular o gradiente de f e aplicar no ponto P
  • Fazer o produto escalar entre esses dois vetores

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

O vetor   v → é:

v → = ( 2,3 )

E sua norma é:

v → = 2 2 + 3 2 = 13

Aí o vetor unitário associado a ele é:

u → = v → v → = ( 2,3 ) 1 3

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular o gradiente de f e aplicar no ponto P . A superfície é:

f x , y = 2 x 2 + y 2

E o gradiente é:

∇ → f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = - 4 x x 2 + y 2 2 ;   - 4 y x 2 + y 2 2

Beleza? Agora basta aplicar no ponto P ( - 1,1 ) :

∇ → f P = - 4 ( - 1 ) ( - 1 ) 2 + ( 1 ) 2 2 ;   - 4 ( 1 ) ( - 1 ) 2 + ( 1 ) 2 2 = 4 4 ;   - 4 4 = ( 1 , - 1 )

Passo 4

Nosso passo final é fazer o produto escalar entre o vetor gradiente no ponto P e o unitário u → :

∇ → f P = ( 1 , - 1 )

u → = ( 2,3 ) 13

E a derivada direcional em P é:

D u f P = 1 , - 1 ⋅ 2,3 13 = 1 1 3   2 - 3 = - 1 13 = - 13 13

E é isso!

Ufa! Terminamos!

Até próxima!

Resposta

- 13 13

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas