Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Derivadas Direcionais

Encontre a derivada direcional de

f x , y , z = 2 x y - z ²

no ponto ( 2 , - 1 ,   1 ) na direção do vetor u = ( 2 ,   2 ,   1 ) .

(a) 4 3

(b) 1

(c) 2 3

(d) 2

(e) 6

Passo 1

Essa é uma questão bem direta, sem enunciado complicado, sem pegadinha, nada!

Só temos que aplicar diretamente a fórmula da derivada direcional no ponto ( 2 ,   - 1 ,   1 ) na direção do vetor u :

∂ f ∂ u = ∇ f 2 , - 1 ,   1 ⋅ u u

Então vamos achar o gradiente da f :

∂ f ∂ x x , y , z = 2 y - 0 = 2 y

∂ f ∂ y x , y , z = 2 x - 0 = 2 x

∂ f ∂ z x , y , z = 0 - 2 z = - 2 z

⇒   ∇ f x , y , z = ( 2 y ,   2 x ,   - 2 z )

E no ponto ( 2 , - 1 ,   1 ) :

∇ f 2 , - 1 ,   1 = ( - 2 ,   4 ,   - 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show! Agora vamos achar o módulo de u ! Temos

u = ( 2 ,   2 ,   1 )

Logo,

u = 2 2 + 2 2 + 1 2 = 9 = 3

Portanto

u u = 2 ,   2 ,   1 3 = 2 3 , 2 3 , 1 3

Passo 3

Ótimo, agora podemos aplicar a fórmula:

∂ f ∂ u = ∇ f 2 , - 1 ,   1 ⋅ u u

⇒ ∂ f ∂ u = - 2 ,   4 ,   - 2 ⋅ 2 3 , 2 3 , 1 3

⇒ ∂ f ∂ u = - 2 * 2 + 4 * 2 - 2 * 1 3 = - 4 + 8 - 2 3 = 2 3

Tranquilo né? Seria bom se todas as perguntas fossem assim! ;)

Resposta

Alternativa (c)

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