Determine a derivada direcional da função no ponto P , na direção do ponto Q .

b)

f x , y = x y ,   P 2,8 ,   Q 5,4

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos a derivada direcional de f x , y num ponto   P 2,8 em direção ao ponto Q 5,4 .

Por definição, temos que a derivada direcional de f num ponto x , y na direção u → unitário qualquer é dada por:

D u h x , y = ∇ f x , y ∙ u →

No nosso caso, precisamos encontrar nosso vetor u → :

u → = Q - P ∴

u → = 5 - 2 ,   4 - 8 ∴

u → = 3 , - 4

Ou

u → = 3 i ^ - 4 j ^

Normalizando nosso vetor, temos:

u → = 3 i ^ - 4 j ^ 3 2 + - 4 2 = 3 i ^ - 4 j ^ 5

Agora vamos descobrir o nosso gradiente para depois substituir na fórmula!!

Passo 2

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de f x , y = x y :

f x = y 2 x y

f y = x 2 x y

Logo, o vetor gradiente é dado por:

∇ f x , y = y 2 x y , x 2 x y

Logo, no ponto P , temos:

∇ f 2,8 = 8 2 2 * 8 , 2 2 2 * 8 ∴

∇ f 2,8 = 1 ,   1 4

Assim, aplicando na derivada direcional no ponto P na direção do ponto Q , obtemos:

D u f 2,8 = 1 ,   1 4 * 3 i ^ - 4 j ^ 5 ∴

D u f 2,8 = 2 5

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

D u f 2,8 = 2 5

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas