Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Origem do Exercício

Determine a derivada direcional da f x , y = x 3 - 3 x y + 4 y 2 em u , sendo u um versos dado pelo ângulo θ = π / 6 .

Então a derivada direcional da f no ponto ( 1,2 ) será:

  1. D u f 1,2 = - 3 3 + 13 2
  2. D u f 1,2 = - 3 1 3 + 13 2
  3. D u f 1,2 = 3 3 - 13 2
  4. D u f 1,2 = - 13 3 + 13 2
  5. D u f 1,2 = 3 3 + 13 2

Passo 1

Lembra como se calcula uma derivada direcional?

Se temos uma função f ( x , y ) , e queremos a deriva dela na direção do vetor u → , temos que fazer o seguinte:

D u f x , y = ∇ f   .   u →

Ou seja, temos que fazer o produto interno entre o gradiente da função e o vetor u → .

O produto interno é uma operação entre dois vetores, que resulta em um número, e segue essa fórmula aqui:

x 1 , y 1 , z 1   .     x 2 , y 2 . z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

E a fórmula do vetor gradiente de uma função, é essa:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

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Passo 2

Ok, nosso primeiro passo é calcular esse gradiente. Para isso, precisamos achar as duas derivadas parciais:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 3 - 3 x y + 4 y 2

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 3 - ∂ ∂ x 3 x y + ∂ ∂ x ( 4 y 2 )

∂ f ∂ x = 3 x 2 - 3 y + 0 = 3 ( x 2 - y )

E agora em relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 3 - 3 x y + 4 y 2

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 3 - ∂ ∂ y 3 x y + ∂ ∂ y ( 4 y 2 )

∂ f ∂ y = 0 - 3 x + 8 y = 8 y - 3 x

Então, o vetor gradiente é:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

∇ f = 3 x 2 - y i + 8 y - 3 x j

∇ f = 3 x 2 - y , 8 y - 3 x

Passo 3

Agora precisamos achar u → . O enunciado disse que u → é um versor (isso quer dizer que é um vetor de módulo igual a 1 ) dado pelo ângulo θ = π / 6 .

Isso quer dizer o seguinte:

Então quais são as componentes do nosso versor? Já que ele tem comprimento 1 , é só projetarmos ele nos eixos x e y :

u → = cos ⁡ π 6 , sen ⁡ π 6

Passo 4

Agora vamos voltar à fórmula da derivada direcional:

D u f x , y = ∇ f   .   u →

D u f x , y = 3 x 2 - y , 8 y - 3 x   . cos ⁡ π 6 , sen ⁡ π 6

Seguindo aquela fórmula do produto interno:

D u f x , y = cos ⁡ π 6 3 x 2 - y + sen ⁡ π 6 8 y - 3 x

Mas queremos calcular isso no ponto P ( 1,2 ) :

D u f 1,2 = cos ⁡ π 6 3 1 2 - 2 + sen ⁡ π 6 8 2 - 3 ( 1 )

D u f 1,2 = cos ⁡ π 6 ( - 3 ) + sen ⁡ π 6 13

Sabemos que c o s ⁡ ( π / 6 ) = 3 / 2 e sen ⁡ ( π / 6 ) = 1 / 2 :

D u f 1,2 = 3 2 ( - 3 ) + 1 2 13

D u f 1,2 = - 3 3 + 13 2

Resposta

Letra (a).

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