(Capítulo 14.6 – Exercício 11) Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → .

f x , y = e x   s e n   y ,                     0 , π 3 ,               v → = ( - 6 ,   8 )

Passo 1

Faaaala pessoal, vamos lá!

A questão pede para calcular a derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) na direção do vetor v → .

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) na direção de um vetor u → unitário qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Mas atenção: a gente SEMPRE precisa garantir que o vetor que dá a direção esteja normalizado ok? Ou seja, o módulo dele sempre deve valer 1! Caso isso não aconteça, vamos dividir o vetor pelo seu próprio módulo, pra aí encontrarmos o vetor normalizado.

Então vamos lá

Passo 2

O vetor dado é

v → = ( - 6 ,   8 )

Neste caso, v → não está normalizado, porque olha quem é o módulo dele:

v → = 36 + 64 = 10

Logo,

v ^ = v → v → = - 6 10 , 8 10 = - 3 5 , 4 5

Showw, então agora sim o nosso vetor é unitário

É esse vetor que vamos usar para calcular a derivada direcional

Passo 3

Agora vamos encontrar o gradiente de f :

f x , y = e x   s e n   y

Suas derivadas parciais são:

∂ f ∂ x = e x . s e n ( y )

∂ f ∂ y = e x . c o s ⁡ ( y )

Então, o gradiente da função é

∇ f x ,   y = e x   s e n   y ,   e x cos ⁡ y

Portanto, no ponto a ,   b = ( 0 ,   π / 3 ) , o gradiente vai valer:

∇ f 0 , π 3 = 3 2 , 1 2

Passo 4

Agora sim, temos todas as informações para calcular a derivada direcional:

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ v ^

D u f 0 , π 3 = 3 2 , 1 2 ⋅ - 3 5 , 4 5

Logo, calculando esse produto escalar:

D u f 0 , π 3 = 4 - 3 3 10

E fimmm

Resposta

D u f 0 , π 3 = 4 - 3 3 10

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas