Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Seja f : R 2 → R uma função de classe C 1 tal que:

(i) A imagem da curva γ : ] 0 , π 2 [   → R 2 dada por γ t = cotg ⁡ t , sec 2 ⁡ t está contida em uma curva de nível de f .

(ii) A imagem da curva σ :   ] 0 ,   + ∞ [   → R 3 dada por σ u = u 3 ,   u 2 + 1 , u 3 2 - u 3 2 + 1 está contida no gráfico de f .

  1. Determine ∇ f 1 ,   2 justificando claramente o que está usando.
  2. Calcule ∂ f ∂ u → 1 ,   2 , onde u → = 1 2 , 3 2 .
  3. Qual é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1 ,   2 ,   f 1 ,   2 ?

Passo 1

a)

A afirmação (i) nos diz que f γ t = k , onde k é alguma constante qualquer.

Derivando essa equação em relação a t :

∇ f γ t ⋅ γ ' t = 0

Sendo que

γ ' t = - cossec 2 ⁡ t , 2 sec 2 ⁡ t tg ⁡ t

Ou seja:

∇ f cotg ⁡ t , sec 2 ⁡ t ⋅ - cossec 2 ⁡ t , 2 sec 2 ⁡ t tg ⁡ t = 0

pra qualquer t ∈ 0 ,   π 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas nós queremos ∇ f 1 ,   2 né, então vamos descobrir a que tempo t isso corresponde:

∇ f cotg ⁡ t , sec 2 ⁡ t = ∇ f 1 ,   2

cotg ⁡ t , sec 2 ⁡ t = 1 ,   2

Bem, temos

cotg ⁡ t = cos ⁡ t sen ⁡ t = 1

⇒ cos ⁡ t = sen ⁡ t

E como t ∈ 0 ,   π 2 , isso implica que t = π 4 .

Passo 3

Substituindo t = π 4 na equação que achamos antes:

∇ f 1 ,   2 ⋅ - cossec 2 ⁡ π 4 , 2 sec 2 ⁡ π 4 tg ⁡ π 4 = 0

⇒ ∇ f 1 ,   2 ⋅ - 2 ,   4 = 0

Beleza, vamos guardar essa equação.

Passo 4

A afirmação (ii) nos diz que f u 3 ,   u 2 + 1 = u 3 2 - u 3 2 + 1 .

Derivando em relação a u :

∇ f u 3 ,   u 2 + 1 ⋅ u - 2 3 3 ,   2 u = 3 u 2 2 - u - 2 3 6

Passo 5

Queremos ∇ f 1 ,   2 , ou seja

∇ f u 3 ,   u 2 + 1 = ∇ f 1 ,   2

u 3 = 1 , u 2 + 1 = 2

⇒ u = 1

Então temos:

∇ f 1 ,   2 ⋅ 1 3 ,   2 = 3 2 - 1 6 = 4 3

Ótimo, achamos mais uma equação envolvendo nosso ∇ f 1 ,   2 .

Passo 6

Recapitulando:

∇ f 1 ,   2 ⋅ - 2 ,   4 = 0 ∇ f 1 ,   2 ⋅ 1 3 ,   2 = 4 3

Digamos que ∇ f 1 ,   2 = a ,   b . Assim:

( a ,   b ) ⋅ - 2 ,   4 = 0 ( a ,   b ) ⋅ 1 3 ,   2 = 4 3

- 2 a + 4 b = 0 a 3 + 2 b = 4 3

Passo 7

Da primeira equação, tiramos que a = 2 b . Substituindo isso na segunda:

a 3 + a = 4 3

⇒ a = 1

⇒ b = 1 2

Portanto,

∇ f 1 ,   2 = 1 , 1 2

Passo 8

b)

A derivada direcional é dada por:

∂ f ∂ u → 1 ,   2 =   ∇ f 1 ,   2 ⋅ u → u →

No caso u → já está normalizado (tem módulo 1), então

∂ f ∂ u → 1 ,   2 = 1 , 1 2 ⋅ 1 2 , 3 2

∂ f ∂ u → 1 ,   2 = 1 2 + 3 4

⇒ ∂ f ∂ u → 1 ,   2 = 2 + 3 4

Passo 9

c)

Vamos primeiro calcular f 1 ,   2 .

Sabemos que a imagem de σ está contida no gráfico de f , então vamos usar isso!

σ 1 = 1 ,   2 ,   1

Daí deduzimos que f 1 ,   2 = 1 .

Passo 10

Agora vamos ao passo a passo de questão de plano tangente. Fazemos

z = f x , y

Jogamos tudo pra esquerda e deixamos zero na direita:

f x , y - z = 0

Chamamos essa expressão de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = f x , y - z

Calculamos o gradiente da F :

∇ F x , y , z = ∂ f ∂ x x , y , ∂ f ∂ y x , y ,   - 1

∇ F 1 ,   2 ,   1 = 1 , 1 2 ,   - 1

Passo 11

Pronto, agora é só aplicar a fórmula!

x , y , z ⋅ ∇ F 1 ,   2 ,   1 = 1 ,   2 ,   1 ⋅ ∇ F 1 ,   2 ,   1

x , y , z ⋅ 1 , 1 2 ,   - 1 = 1 ,   2 ,   1 ⋅ 1 , 1 2 ,   - 1

x + y 2 - z = 1 + 1 - 1

⇒ x + y 2 - z = 1

Resposta

a)

∇ f 1 ,   2 = 1 , 1 2

b)

∂ f ∂ u → 1 ,   2 = 2 + 3 4

c)

x + y 2 - z = 1

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