A altura do pico do Jabre (município de Matureia – PB) é, de maneira aproximada, dada por

h x   y = 1,2 - 0,00065 x 2 - 0,00024 y 2

onde h mede a altura em relação ao nível do mar e ( x ,   y ) mede as distâncias leste-oeste e norte-sul em relação ao local do pico (medidas em quilômetro). Considerando que você esteja localizado no ponto x ,   y = ( - 2 ,   - 4 ) , determine:

a) A direção de maior declividade para se descer o pico.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar a direção de maior inclinação da superfície em relação à horizontal do pico que tem altura e as distâncias descritas pela equação h ( x ,   y ) .

Para isso, vamos precisar calcular o vetor gradiente no ponto considerado, que vai nos fornecer a direção de maior variação da função, ou maior inclinação do pico. Vamos calcular o gradiente usando a equação:

∇ h x 0 ,   y 0 = h x x 0 , y 0 ,   h y ( x 0 , y 0 )

onde h x e h y são as derivadas parciais de h em relação a x e a y , respectivamente.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais da função h x   y = 1,2 - 0,00065 x 2 - 0,00024 y 2 .

Considerando y constante, derivamos em relação a x :

h x = - 0,0013 x

Agora considerando x constante, temos a derivada em relação a y :

h y = - 0,00048 y

Então, nosso vetor gradiente será:

∇ h = ( - 0,0013 x ,   - 0,00048 y )

No ponto ( - 2 ,   - 4 ) vamos obter:

∇ h - 2 ,   - 4 = ( - 0,0026 ,   - 0,00192 )

Que é a direção de maior declividade para o pico, que também pode ser escrita como:

- 0,0026   i - 0,00192   j

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 0,0026   i - 0,00192   j

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