Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em P 0 . Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.

c) f x ,   y ,   z = x e y + z 2 ,               P 0 1 , ln ⁡ 2 , 1 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar as direções onde a função aumenta ou diminui mais rápido, isso acontece na direção do vetor gradiente.

Então, vamos começar calculando o vetor gradiente no ponto dado, através das derivadas parciais da função e encontrando o versor (ou vetor unitário) desse gradiente (que é o vetor dividido pelo módulo dele). E as derivadas da função nessas direções vão ser dadas pelo módulo do vetor gradiente, que representa a taxa de crescimento e decrescimento.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais da função f x ,   y ,   z = x e y + z 2 :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x e y + z 2

∂ ∂ x x e y + ∂ ∂ x z 2 = e y + 0

∂ f ∂ x = e y

Agora vamos calcular a derivada parcial em relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x e y + z 2

∂ ∂ y x e y + ∂ ∂ y z 2 = x e y + 0

∂ f ∂ y = x e y

E por fim, a derivada parcial em relação a z :

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z x e y + z 2

∂ ∂ z x e y + ∂ ∂ z z 2 = 0 + 2 z

∂ f ∂ y = 2 z

Passo 3

Agora aplicando no ponto P 0 1 , ln ⁡ 2 , 1 2 :

∂ f ∂ x 1 , ln ⁡ 2 , 1 2 = e y = e ln ⁡ 2 = 2

∂ f ∂ y 1 , ln ⁡ 2 , 1 2 = x e y = 1 e ln ⁡ 2 = 2

∂ f ∂ y 1 , ln ⁡ 2 , 1 2 = 2 z = 2 1 2 = 1

Então, nosso gradiente no ponto é dado por:

∇ f x ,   y ,   z 1 , ln ⁡ 2 , 1 2 = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

∇ f x ,   y ,   z 1 , ln ⁡ 2 , 1 2 = 2 i + 2 j + k

Passo 4

Agora vamos calcular o vetor unitário do gradiente na forma:

u = ∇ f ∇ f

Calculando primeiro o módulo ∇ f , temos:

∇ f = 2 2 + 2 2 + 1 2

∇ f = 9 = 3

Então, o versor de ∇ f que chamamos de u é:

u = ∇ f ∇ f = 2 3 i + 2 3 j + 1 3 k

De acordo com a teoria, f cresce mais rapidamente na direção e sentido de ∇ f e decresce mais rapidamente na direção de - ∇ f . Ou seja, na direção de u dado um ponto P 0 , a função aumenta rapidamente e na direção - u diminui mais rapidamente:

- u = - 2 3 i - 2 3 j - 1 3 k

Passo 5

As derivadas das funções nessas direções, ou melhor, a taxa de crescimento e decrescimento são:

∇ f = 2 2 + 2 2 + 1 2 = 3

- ∇ f = 2 2 + 2 2 + 1 2 = - 3

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

u = 2 3 i + 2 3 j + 1 3 k

- u = - 2 3 i - 2 3 j - 1 3 k

∇ f = 3

- ∇ f = - 3

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas