12 - Se o potencial elétrico em um ponto x , y do plano x y é V x , y então o vetor campo elétrico no ponto x , y é E → = ∇ V . Suponha que V x , y = e - 2 x c o s 2 y .

a) Determine o valor do campo elétrico em π / 4,0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

O pessoal de Engenharia Elétrica/Eletrônica pira nessa questão 😍

Foi dito que o potencial elétrico no plano x y é dado por V x , y = e - 2 x c o s 2 y .

A partir dessa equação, foi dito que o vetor campo elétrico nesse mesmo plano é dado por E → = ∇ V , ou seja, o campo elétrico é dado pelo gradiente da função potencial elétrico.

Lembra como calcula o gradiente de uma função??

O gradiente de f é composto pelas derivadas parciais das suas coordenadas, por exemplo

E → = ∇ V = ∂ V ∂ x , ∂ V ∂ y

Depois disso, a questão pediu para calcularmos o campo elétrico no ponto π / 4,0 .

Entendeu? Bora por a mão na massa!

Passo 2

Primeiro a gente calcula o gradiente de V , onde ∂ V / ∂ x é o primeiro termo do nosso gradiente.

∂ V ∂ x = c o s 2 y ∂ e - 2 x ∂ x

Como estamos derivando com relação a x , a variável y se comporta como uma constante.

Neste caso, usamos a regra da cadeia quando temos uma função dentro de outra função.

Calculamos a regra da cadeia derivando a função de dentro multiplicando pela derivada da função de fora.

No nosso caso, V x , y = f g x , y = e g x , y , ou seja

g x , y = - 2 x

A derivada então será

V x = g x · f g

V x = c o s 2 y ∂ - 2 x ∂ x · ∂ e g ∂ g

A derivada de g com relação a x será

∂ - 2 x ∂ x = - 2

A derivada de f com relação a g será

∂ e g ∂ g = e g

Substituindo esses resultados em V x , temos

V x = - 2 cos ⁡ 2 y · e g

Substituindo g por - 2 x c o s 2 y de volta, temos

V x = - 2 cos ⁡ 2 y e - 2 x

Tranquilo?

Passo 3

Para obter o vetor gradiente de V falta apenas calcularmos V y

∂ V ∂ y = e - 2 x ∂ c o s 2 y ∂ y

Para esse cálculo, temos que aplicara a regra da cadeia novamente, veja só, se V x , y = f g x , y = e - 2 x cos ⁡ g x , y , então

V y = ∂ 2 y ∂ y · ∂ c o s g ∂ g

V y = e - 2 x ∂ 2 y ∂ y · ∂ c o s g ∂ g

A derivada de 2 y é dada por

∂ 2 y ∂ y = 2

A derivada de cos ⁡ g é dada por

∂ c o s g ∂ g = - s e n g

Substituindo os resultados e g = 2 y em V y , temos

V y = e - 2 x 2 · - s e n 2 y

V y = - 2 s e n 2 y e - 2 x

Algum mistério?

Passo 4

Com isso, calculamos o seguinte vetor gradiente

E → = ∇ V = - 2 cos ⁡ 2 y e - 2 x , - 2 s e n 2 y e - 2 x

Este vetor determina o campo elétrico no espaço x , y .

Por último, substituímos os valores π 4 , 0 , para encontrar o campo elétrico neste ponto.

E → = - 2 cos ⁡ 2 0 e - 2 π 4 , - 2 s e n 2 0 e - 2 π 4

E → = - 2 e - π 2 , 0

O vetor campo elétrico no ponto π 4 , 0 possui - 2 e - π 2 na direção do eixo x e 0 na direção do eixo y .

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

E → = - 2 e - π 2 , 0

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