Considere a curva γ t = α t ,   β t ,   com γ 0 = 1,2 , e a função f x , y = x 3 y 3 - x y . Suponha que γ ' 0 ≠ ( 0,0 ) e que f   ∘ γ t = 6 para todo t ∈ D γ . Determine:

c ) A derivada direcional de f com respeito ao vetor unitário de mesma direção e sentido de γ ' ( 0 ) .

Passo 1

Olá pessoal, tudo na paz com vocês?

Nessa questão recebemos uma função de duas variáveis dada por:

f x , y = x 3 y 3 - x y

Como também uma curva já parametrizada dada por:

γ t = α t ,   β t

Aqui precisamos calcular a derivada direcional de f na direção de γ ' ( 0 ) .

Bom, pra fazer isso primeiramente precisamos revisar a fórmula de derivada direcional:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u

Ou seja, a derivada de uma função f na direção de um vetor u em um ponto P 0 . Tranquilo?

No enunciado também é falado que:

γ 0 = ( 1,2 )

E que:

f ∘ γ t = 6

No caso, pelo enunciado, como γ 0 = ( 1,2 ) , já sabemos que P 0 = ( 1,2 ) . Logo, podemos usar o resultado que encontramos nos itens anteriores para o gradiente de f em ( 1,2 ) :

∇ f 1,2 = ( 22,11 )

O maior problema aqui é justamente conseguir encontrar o vetor u que possui a mesma direção e sentido de γ ' ( 0 ) .

Mas, a estratégia vai ser usar a informação da função composta junto com a regra da cadeia para funções de duas variáveis para descobrir quem é u .

Vem comigo que vai ficar mais claro 😊

Passo 2

Bom, nós temos que:

γ t = α t ,   β t

Então:

γ 0 = α 0 ,   β 0 = ( 1,2 )

Assim:

α 0 = 1 β 0 = 2

Temos também a seguinte informação:

f ∘ γ t = 6

Ou seja:

f α t ,   β t = 6

Pela lei de formação dada para f , temos que:

f α t ,   β t = α β 3 - α β = 6

Massa! Agora que destrinchamos um pouco melhor essas informações, vamos ver o que precisamos encontrar.

u = γ ' 0 = α ' 0 ,   β ' 0

Ou seja, precisamos encontrar α ' ( 0 ) e β ' ( 0 ) . Para esses termos aparecerem podemos calcular a derivada de f com relação a t no ponto ( 0,0 ) . Vê só:

Pela regra da cadeia:

∂ f α ( 0 ) , β ( 0 ) ∂ t = ∂ f ∂ α ⋅ ∂ α 0 ∂ t + ∂ f ∂ β ⋅ ∂ β 0 ∂ t

Daí, pela expressão que vimos acima para f , temos:

∂ f ∂ α = 3 α 2 β 3 - β

∂ f ∂ β = 3 β 2 α 3 - α

Daí, como estamos falando dessas derivadas para ( α 0 ,   β 0 ) , e vimos que:

α 0 = 1 β 0 = 2

Temos:

∂ f ∂ α = 3 α 2 β 3 - β

= 3 ⋅ 1 2 ⋅ 2 3 - 2

= 22

E, analogamente:

∂ f ∂ β = 3 β 2 α 3 - α

= 3 ⋅ 2 2 ⋅ 1 3 - 1

= 11

Substituindo na nossa expressão principal, temos:

∂ f α ( 0 ) , β ( 0 ) ∂ t = 22 ⋅ ∂ α 0 ∂ t + 11 ⋅ ∂ β 0 ∂ t

Além disso, temos que:

f α t ,   β t = 6 ,     ∀   t

Logo, a função assume um valor constante nessa curva. Daí, se derivamos com relação a t , trata-se da derivada de uma constante, que vale zero. Por isso:

0 = 22 ⋅ ∂ α 0 ∂ t + 11 ⋅ ∂ β 0 ∂ t  

0 = 22 α ' 0 + 11 β ' ( 0 )

Isolando β ' ( 0 ) , temos:

β ' 0 = - 2 α ' ( 0 )

Perfeito!! Essa relação pode parecer não ajudar muito, mas ela é matadora! Vem comigo!

Passo 3

Encontramos que:

β ' 0 = - 2 α ' ( 0 )

Mas, vimos também no passo anterior que:

u = γ ' 0 = α ' 0 ,   β ' 0

Substituindo a relação encontrada nesse vetor, temos:

u = α ' 0 ,   - 2 α ' 0

∴ u = α ' ( 0 ) ( 1 , - 2 )

Portanto galera, u é um vetor que está na direção ( 1 , - 2 ) . Viram que top?!

Daí, pra responder o exercício precisamos apenas substituir em:

∂ f ∂ u 1,2 = ∇ f 1,2 ⋅ u u

Assim, temos:

∂ f ∂ u 1,2 = 22,11 ⋅ ( 1 , - 2 ) 1 2 + - 2 2  

= 22,11 ⋅ 1 , - 2 ⋅ 1 5

= 0

Portanto, a derivada direcional de f na direção de γ ' ( 0 ) vale 0 .

É isso galera, conseguiram entender bem a solução?

Responde Aí!

Resposta

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