13 - A equação

∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2

onde c é uma constante positiva, é chamada equação de onda. Sejam f e g funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.

b) Mostre que uma função da forma ϕ x , t = f x + c t + g x - c t satisfaz a equação da onda.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Essa questão nos deu uma equação meio estranha e a chamou de “equação da onda”

∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2

u é uma função f ou g as quais devem ser ter derivadas de ordem 2.

Para resolver essa questão, vamos definir duas funções f e g e soma-las, dessa forma definindo ϕ

ϕ x , t = f x + c t + g x - c t

Devemos substituir u por ϕ e mostrar que ϕ x , t = f x + c t + g x - c t satisfaz a equação da onda.

Entendeu? Vamos começar!

Passo 2

No item a), definimos f x = x 2 e g x = e x e provamos a equação da onda para esses dois.

Agora vamos trocar f e g de lugar

f x = e x g x = x 2

Dessa forma, temos

ϕ x , t = f x + c t + g x - c t

ϕ x , t = e x + c t + x - c t 2

ϕ x , t = e x + c t + x 2 - 2 c t x + c 2 t 2

Agora devemos calcular as derivadas de ϕ com relação a t e a x . Primeiro com relação a t , temos

∂ ϕ ∂ t = ∂ e x + c t + x 2 - 2 c t x + c 2 t 2 ∂ t

Lembre que a derivada da soma, é igual a soma das derivadas, então

∂ ϕ ∂ t = ∂ e x + c t ∂ t + ∂ x 2 ∂ t - ∂ 2 c t x ∂ t + ∂ c 2 t 2 ∂ t

Vamos calcular essas derivadas separadamente pra facilitar a visualização do que estamos fazendo.

Bora lá!

Passo 3

Vamos calcular as derivadas

∂ e x + c t ∂ t

Para a derivada da exponencial, vamos aplicar a regra da cadeia. Lembra? A derivada de dentro · a derivada de fora

∂ e x + c t ∂ t = ∂ x + c t ∂ t · ∂ e k ∂ k

∂ e x + c t ∂ t = c e x + c t

A derivada de x 2 com relação a t é 0 , já que não temos t para derivar

∂ x 2 ∂ t = 0

A derivada de 2 c t x , por derivação de polinômios, é igual a 2 c x

∂ 2 c t x ∂ t = 2 c x

Assim como a derivada de c 2 t 2 é igual a 2 c 2 t

∂ c 2 t 2 ∂ t = 2 c 2 t

Substituindo esses resultados em ∂ ϕ ∂ t , temos

∂ ϕ ∂ t = c e x + c t + 0 - 2 c x + 2 c 2 t

∂ ϕ ∂ t = c e x + c t - 2 c x + 2 c 2 t

Estamos em busca da segunda derivada, então temos que derivar o resultado novamente.

Passo 4

vamos derivar ∂ ϕ ∂ t com relação a t

∂ 2 ϕ ∂ t 2 = ∂ c e x + c t - 2 c x + 2 c 2 t ∂ t

Vamos aplicar a ideia novamente de que a soma das derivadas é a derivada das somas.

∂ 2 ϕ ∂ t 2 = ∂ c e x + c t ∂ t - ∂ 2 c x ∂ t + ∂ 2 c 2 t ∂ t

Podemos tirar a constante c da derivada da exponencial, resultando em

c ∂ e x + c t ∂ t

Acabamos de calcular essa derivada, lembra?

c ∂ e x + c t ∂ t = c c e x + c t = c 2 e x + c t

A derivada de 2 c x é 0 já que não temos t para derivar

∂ 2 c x ∂ t = 0

Por derivação de polinômios, 2 c 2 t é igual a 2 c 2 .

∂ 2 c 2 t ∂ t = 2 c 2

Substituindo esses valores em ∂ 2 ϕ ∂ t 2 , temos

∂ 2 ϕ ∂ t 2 = c 2 e x + c t - 0 + 2 c 2

∂ 2 ϕ ∂ t 2 = c 2 e x + c t + 2

Tranquilo até aqui?

Passo 5

Agora devemos calcular as derivadas de ϕ com relação a x

∂ ϕ ∂ x = ∂ e x + c t + x 2 - 2 c t x + c 2 t 2 ∂ x

Para facilitar a visualização das etapas dos cálculos, vamos aplicar a ideia das somas das derivadas novamente.

∂ ϕ ∂ x = ∂ e x + c t ∂ x + ∂ x 2 ∂ x - ∂ 2 c t x ∂ x + ∂ c 2 t 2 ∂ x

A derivada de e x + c t é o próprio e x + c t , já que c t não influencia nos cálculos

∂ e x + c t ∂ x = e x + c t

Por derivada de polinômios, x 2 é igual a 2 x e 2 c t x é igual a 2 c t

∂ x 2 ∂ x = 2 x

∂ 2 c t x ∂ x = 2 c t

A derivada de c 2 t 2 é igual a 0 já que não temos x para derivar

∂ c 2 t 2 ∂ x = 0

Substituindo esses resultados em ∂ ϕ ∂ x , temos

∂ ϕ ∂ x = e x + c t + 2 x - 2 c t + 0

∂ ϕ ∂ x = e x + c t + 2 x - 2 c t

Está acompanhando?

Passo 6

Estamos quase acabando, vamos derivar o resultado que obtemos anteriormente para obter a segunda derivada.

∂ 2 ϕ ∂ x 2 = ∂ e x + c t + 2 x - 2 c t ∂ x

Aplicando a ideia da derivada das somas, temos

∂ 2 ϕ ∂ x 2 = ∂ e x + c t ∂ x + ∂ 2 x ∂ x - ∂ 2 c t ∂ x

Já derivamos e x + c t e vimos que o resultado é o próprio e x + c t

∂ e x + c t ∂ x = e x + c t

Por derivada de polinômios, 2 x é igual a 2

∂ 2 x ∂ x = 2

A derivada de 2 c t é igual a 0 já que não temos x para derivar

∂ 2 c t ∂ x = 0

Substituindo esses resultados em ∂ 2 ϕ ∂ x 2 , temos

∂ 2 ϕ ∂ x 2 = e x + c t + 2 - 0

∂ 2 ϕ ∂ x 2 = e x + c t + 2

Difícil?

Passo 7

Por fim, voltamos lá no início onde tínhamos que provar a equação

∂ 2 ϕ ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 ϕ ∂ x 2

Vamos substituir nossos resultados de ∂ 2 ϕ ∂ t 2 e ∂ 2 ϕ ∂ x 2 na equação e ver se deu tudo certinho.

c 2 e x + c t + 2 = c 2 e x + c t + 2

Viu só! Mostramos que para uma função ϕ x , t = f x + c t + g x - c t a equação da onda é verídica.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∂ 2 ϕ ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 ϕ ∂ x 2

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